涂色问题的解题思路
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（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有 种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法。
种方法。
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有 种着色方法，此时B、D、F有 种着色方法，故共有 种着色方法。
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有 种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有 种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
如：如图，把一个圆分成 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？
解：设分成n个扇形时染色方法为 种
（1）当n=2时 、 有 =12种，即 =12
（2）当分成n个扇形，如图， 与 不同色， 与 不同色， ，
与 不同色，共有 种染色方法，但由于 与 邻，所以应排除 与 同色的情形； 与 同色时，可把 、 看成一个扇形，与前 个扇形加在一起为 个扇形，此时有 种染色法，故有如下递推关系：
由乘法原理，总的染色方法是
解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
解答略。
三、线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
1)根据共用了多少颜色分类讨论
2)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
所以根据加法原理得涂色方法总数为5 =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2)区域3与5必须同色，故有 种；
因此，所求的涂法种数为
4、根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可 解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，
有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，
此时，B、D、F各有3种着色方法故有
（3）若恰用五种颜色染色，有 种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有 种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法Biblioteka Baidu，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有 种染色方法。
二、点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
3)当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4)则区域3与5不同色，有 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有 种，故用四种颜色时共有2 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有 +2 =24+2 24=72
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
解法一：（1）使用四颜色共有 种
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有 种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有 种
因此，所求的染色方法数为 种
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有 种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 ；
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 ；
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
（1）四格涂不同的颜色，方法种数为 ；
（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
；
5)两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 ，
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法。
种方法。
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有 种着色方法，此时B、D、F有 种着色方法，故共有 种着色方法。
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有 种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有 种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
如：如图，把一个圆分成 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？
解：设分成n个扇形时染色方法为 种
（1）当n=2时 、 有 =12种，即 =12
（2）当分成n个扇形，如图， 与 不同色， 与 不同色， ，
与 不同色，共有 种染色方法，但由于 与 邻，所以应排除 与 同色的情形； 与 同色时，可把 、 看成一个扇形，与前 个扇形加在一起为 个扇形，此时有 种染色法，故有如下递推关系：
由乘法原理，总的染色方法是
解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
解答略。
三、线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
1)根据共用了多少颜色分类讨论
2)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
所以根据加法原理得涂色方法总数为5 =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2)区域3与5必须同色，故有 种；
因此，所求的涂法种数为
4、根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可 解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，
有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，
此时，B、D、F各有3种着色方法故有
（3）若恰用五种颜色染色，有 种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有 种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法Biblioteka Baidu，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有 种染色方法。
二、点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
3)当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4)则区域3与5不同色，有 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有 种，故用四种颜色时共有2 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有 +2 =24+2 24=72
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
解法一：（1）使用四颜色共有 种
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有 种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有 种
因此，所求的染色方法数为 种
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有 种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 ；
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 ；
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
（1）四格涂不同的颜色，方法种数为 ；
（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
；
5)两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 ，