mp&omp 匹配追踪 正交匹配追踪

1. 信号的稀疏表示(sparse representation of signals)

给定一个过完备字典矩阵，其中它的每列表示一种原型信号的原子。给定一个信号y，它可以被表示成这些原子的稀疏线性组合。信号y 可以被表达为y = Dx ，或者

。字典矩阵中所谓过完备性，指的是原子的个数远远大于信号y的长度(其长度很显然是n)，即n<

2.MP算法(匹配追踪算法)

2.1 算法描述

作为对信号进行稀疏分解的方法之一，将信号在完备字典库上进行分解。

假定被表示的信号为y，其长度为n。假定H表示Hilbert空间，在这个空间H里，由一组向量构成字典矩阵D，其中每个向量可以称为原子(atom)，其长度与被表示信号y 的长度n相同，而且这些向量已作为归一化处理，即|，也就是单位向量长度为1。MP算法的基本思想：从字典矩阵D（也称为过完备原子库中），选择一个与信号y 最匹配的原子(也就是某列)，构建一个稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，反复迭代，信号y可以由这些原子来线性和，再加上最后的残差值来表示。很显然，如果残差值在可以忽略的范围内，则信号y就是这些原子的线性组合。如果选择与信号y最匹配的原子？如何构建稀疏逼近并求残差？如何进行迭代？我们来详细介绍使用MP进行信号分解的步骤：[1] 计算信号y 与字典矩阵中每列(原子)的内积，选择绝对值最大的一个原子，它就是与信号y 在本次迭代运算中最匹配的。用专业术语来描述：令信号，从字典矩阵中选择一个最为匹配的原子，满足

，r0 表示一个字典矩阵的列索引。这样，信号y 就被分解为在最匹配原子的垂直投影分量和残值两部分，即：

。[2]对残值R1f进行步骤[1]同样的分解，那么第K步可以得到：

，其中满足

。可见，经过K步分解后，信号y 被分解为：，其中。

2.2 继续讨论

(1)为什么要假定在Hilbert空间中？Hilbert空间就是定义了完备的内积空。很显然，MP中的计算使用向量的内积运算，所以在在Hilbert空间中进行信号分解理所当然了。

(2)为什么原子要事先被归一化处理了，即上面的描述。内积常用于计算一个矢量在一个方向上的投影长度，这时方向的矢量必须是单位矢量。MP中选择最匹配的原子是，是选择内积最大的一个，也就是信号(或是残值)在原子(单位的)垂直投影长度最长的一个，比如第一次分解过程中，投影长度就是。，三个向量，构成一个三角形，且和正交（不能说垂直，但是可以想象二维空间这两个矢量是垂直的）。

(3)MP算法是收敛的，因为，和正交，由这两个可以得出，得出每一个残值比上一次的小，故而收敛。

2.3 MP算法的缺点

如上所述，如果信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的，这会使得每次迭代的结果并不少最优的而是次最优的，收敛需要很多次迭代。举个例子说明一下：在二维空间上，有一个信号y 被D=[x1, x2]来表达，MP算法迭代会发现总是在x1和x2上反复迭代，即，这个就是信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影的非正交性导致的。再用严谨的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空间H中，

，，定义，就是它是这些向量的张成中的一个，MP构造一种表达形式：;这里的Pvf表示f在V

上的一个正交投影操作，那么MP算法的第k 次迭代的结果可以表示如下(前面描述时信号为y，这里变成f了，请注意)：

如果是最优的k项近似值，当且仅当。由于MP仅能保证，

所以一般情况下是次优的。这是什么意思呢？是k个项的线性表示，这个组合的值

作为近似值，只有在第k个残差和正交，才是最优的。如果第k个残值与正交，意味这个残值与fk的任意一项都线性无关，那么第k个残值在后面的分解过程中，不可能出现fk中已经出现的项，这才是最优的。而一般情况下，不能满足这个条件，MP一般只能满足第k个残差和xk正交，这也就是前面为什么提到“信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的”的原因。如果第k个残差和fk不正交，那么后面的迭代还会出现fk中已经出现的项，很显然fk就不是最优的，这也就是为什么说MP收敛就需要更多次迭代的原因。不是说MP一定得到不到最优解，而且其前面描述的特性导致一般得到不到最优解而是次优

解。那么，有没有办法让第k个残差与正交，方法是有的，这就是下面要谈到的OMP 算法。

3.OMP算法

3.1 算法描述

OMP算法的改进之处在于：在分解的每一步对所选择的全部原子进行正交化处理，这使得在精度要求相同的情况下，OMP算法的收敛速度更快。

那么在每一步中如何对所选择的全部原子进行正交化处理呢？在正式描述OMP算法前，先看一点基础思想。

先看一个k 阶模型，表示信号f 经过k 步分解后的情况，似乎很眼熟，但要注意它与MP算法不同之处，它的残值与前面每个分量正交，这就是为什么这个算法多了一个正交的原因，MP中仅与最近选出的的那一项正交。

(1)

k + 1 阶模型如下：

(2)

应用k + 1阶模型减去k 阶模型，得到如下：

(3)

我们知道，字典矩阵D的原子是非正交的，引入一个辅助模型，它是表示对前k个项的依赖，描述如下：

(4)

和前面描述类似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的项是残值。这个关系用数学符号描述：

请注意，这里的a 和b 的上标表示第k 步时的取值。

将(4)带入(3)中，有：

（5）

如果一下两个式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很简单，通过对(7)左右两边添加作内积消减得到：

后边的第二项因为它们正交，所以为0，所以可以得出ak的第一部分。对于，在（4）左右两边中与作内积，可以得到ak的第二部分。

对于(4)，可以求出；

3.2 收敛性证明

通过(7)，由于与正交，将两个残值移到右边后求二范的平方，并将ak的值代入可以得到：

可见每一次残差比上一次残差小，可见是收敛的。