高等数学：第一类换元积分法(凑微分法)

第一类换元
积分法
（凑微分法）
定理：
设 f(u) 具有原函数 F(u) , (u)是连续函数, 那么
f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C.
注意：使用此公式关键在于 f [ ( x)] ( x)dx
d[( x)]
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x) f (u)du F (u) C F[( x)] C
常用的凑微分形式有：
dx 1 d ax b;
a
1
1
x2
dx
d(
); x
e xdx d(e x );
xdx 1 d( x2 ); 2
dx 2d( x ); x
1 dx
1 d(a ln
x
b);
x
a
eaxdx 1 d(eax ); a
cos xdx d(sin x);
sin xdx d(cos x);
例4 计算 sin x cos6 xdx
原式 cos6 xd(cos x) u6du
1 u7 C 1 cos7 x C
7
7
sin xdx d(cos x)
一般地 f (cos x)sin xdx f (cos x)d(cos x)
f (sin x)cos xdx f (sin x)d(sin x)
sec x tan xdx d(sec x);
csc x cot xdx d(csc x);
sec2 xdx d(tan x);
csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2
d(arctan x).
内容小结：
1.第一类换元积分法也称凑微分法
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x)
例1 计算 (2x 3)5dx
解:
原式 (2x 3)5 1 d(2 x 3)
2
1 2
(2x
3)5
d(2x
Байду номын сангаас
3)
令u=2x 3
1 2
u5du
u5du 1 u6 C
6
1 1 u6 C u回代 1 (2x 3)6 C
26
12
一般地
f (ax b)dx
1 a
f (ax b)d(ax b)
1dx x
(1 2ln x)d(ln
x)
1 dx d(ln x) x
1 2
(1
2
ln
x)d(1
2
ln
x)
令u=1-2lnx
1 2
udu
1 1 u2 C 1 u2 C u回代 1 (1 2ln x)2 C.
22
4
4
一般地
f (ln x)
1 dx x
f (ln x)d(ln x)
例2 计算 x3e x4dx
原式
1 4
e x4 dx4
令u=x4 1 eudu 1 eu C
4
4
eudu eu C
u回代 1 ex4 C 4
一般地
f ( xn ) xn1dx 1 f ( x n )d( x n ) n
例3
计算
1
2 ln x
xdx
原式
(1 2ln x)
(代换: u (x) )
2.注意常见的凑微分的式子
谢谢