材料力学第07章a(应力状态)说课讲解

t
由平衡得：Fn0 , sa dAsxdAcos2atxydAcoassian
sydAsin2atyxdAs iancoas 0
s a s x cos2a txycoass ian s ysin2a tyxs inacoas
由tyx=txy和三角变换，得：
sa sx 2 sy sx 2 syc2 o a stxs y 2 ia n
三个主应力都不为零的应力状态。
s2 s3
s1
s 1
s3
s2
§7–2 二向和三向应力状态的实例
[例1]画出图中的A点的应力单元体。
F
F
dx
dx
s
s
A
[例2] 画出图中A点的应力单元体。
A
Me
Me
t t
t
t
t
t
[例3] 画出图中各点的应力单元体。
F1
F2
q
1
2 3 4
5 M
FS
sM
FS
t
F1
F2
s pD 4
s pD 2
σ'
p
σ'' σ''
l
σ''
σ' σ'
σ''
s1
s
pD
2
s2
s
pD
4
§7–3 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态: 单元体有一对平面上的应力为零。
y
tyx
sx
sy
txy sx
txy
sx
tyx
sy
tyx
sx
txy
z sy
x
sy
一、任意斜截面上的应力
二、最大正应力和最小正应力
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7–1 应力状态概述 §7–2 二向和三向应力状态的实例 §7–3 二向应力状态分析——解析法 §7–4 二向应力状态分析——图解法 §7–5 三向应力状态分析 §7–8 广义胡克定律 §7–9 复杂应力状态的应变能密度 §7–10 强度理论概述 §7–11 四种常用 强度理论
80
Sz*4.65105(mm 3)
20
s
M y Iz
7 4(M P )a
60°
t
x
t
F
S
S
* z
29(MP)a
s
s
I zb
S
* z
10 70 11520120160
∴ sx 7,4 sy 0,tx y 2,9 a 6 0
s60 sx 2sysx 2syco 2 a stxsyi2 a n
问题的提出 F A
F
A A
s x sz
sy
tyztyx
tzx tzy txy
sz
txz s x
sy
A
§7–1 应力状态概述
一、什么是一点处的应力状态？
应力
与点的位置有关
与作用面的方位有关
P
σa
a τa
z x
y
A 过一点有无数个不同方位的截面。
§7–1 应力状态概述 一、什么是一点处的应力状态？
一点处不同方位截面上应力的集合，称为这点的应力状态。
A A
二、一点处应力状态的表示方法：
（1）单元体
单元体——构件内点的代
表物，是包围被研究点的无限小 s x
的几何体，常用的是正六面体。
sz
单元体各面上应力均布；相
互平行的面上应力相等，面上的
应力值即为该点所对应截面方位
的应力大小。
sy
tyztyx sz
s2
s1s2s3
s1 s3
A
AA
五、应力状态分类
1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：
一个Fra Baidu bibliotek应力不为零的应力状态。
sx
s x
2、二向应力状态（Plane State of Stress）：
二个主应力不为零的应力状态。
s 1
s 2 s 1
3、三向应力状态（ Three—Dimensional State of Strses2s）：
tzx
A txz s x
tzy txy
sy
应力单元体是一点受力状态的完整表示。
（2）应力分量
sx sy sz t xy t yz t zx t yx t zy t xz
一点有六个独立的应力分量
三、为什么要研究一点处的应力状态
A
A
A A
p
A
A
mF l
F F
σy云纹图
σx云纹图
τxy云纹图
σr云纹图
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。
F
30° A
120
20 10
300
z
80
l
l
20
90kN
+
－ 90kN
135kNm
+
s
A
60°
t
x
s
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。
F
30° A
l
l
120
解：
20
300
10 z Iz1.46108(mm 4)
三、主平面和主应力
四、应力圆（莫尔圆）
一、任意斜截面上的应力
已知：sx、 s y、txy 、a 求： sa、 ta
sy
txy
tyx
sa
txy
sa
sx a
tyx
sx
txy
sx
ta
t yxsy
ta
sy
解：设斜截面面积为dA，
dAcosa dAsina
sa
t xy
sa
n
ta
a
sx t yx
ta
dA
sy
同理：
tasx 2sysi2n atxyco2as
t xy
sa
a
n
sx t yx
ta
sy
t
正负号规定： (1)正应力拉为正； 2切应力绕研究对象顺时针转为正；
3a逆时针为正。
txy
sx a
tyx
sy n
tyx a txy sx
sy
[例4] 求斜截面上的应力，单位MPa
30
30° 30° 50
20
解：
x sx 5,0sy 3,0tx y2,0a 30
s30 sx 2sysx 2syco 2a stxsy i2a n
sa ta
5 2 03 05 2 03c0o6s0 2s0i6n0 12.7(MP)a
t30sx 2sysi2n atxcy o2as50230sin6020co6s0
44.6(MP)a
s
5
5s
D
[例4] 如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内
压力为 p，容器直径D，壁厚。
( D 20 )
p
s
l 用横截面将容器截开，受力如图所示,根据平衡方程
sDpD2
4 s pD
4
s
l
s
s
l
s
s
l
l
l
s
p s
sl 2p Dl
s pD 2
p
l σ''
σ''
l
σ''
σ' σ''
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
t max
s
s
1
s
s
1
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t max
t
s2 s
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
t max
1
s
t
3
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t max
t
s4 s
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t max
s
F F
σy云纹图
σx云纹图
σr云纹图
四、主平面、主应力： （1）主平面(Principal Plane)：
sy y
切应力为零的截面。
任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。
sx
（2）主应力(Principal Stress ）：
ssz z
z
主面上的正应力。
xx
主应力排列规定：按代数值大小，