摩擦角及应用(新)

摩擦角及其应用

提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解

题

关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡

一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩

力F =k ϕs ϕm ϕs m 一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即s ϕ≤m ϕ，其

中s ϕ=m ϕ是临界平衡状态。

判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件

求出此时全反力与正压力间的夹角s ϕ= tan -1

N f s ，然后判断：若s ϕ≤m ϕ，物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若s ϕ>m ϕ，物体不能静止平衡，

假设错误。 二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程

度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态

平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题

（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确

定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说

明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共

点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交

三、应用摩擦角解12年高考24题第2问

1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如

图3）。设拖把头的质量为m ，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因

数为常数μ，重力加速度为g 。某同学用该拖把在水平地板上

拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推

力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角

θ0．若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使

拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。

解法一（标准答案）：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把。将

推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有

Fcosθ+ mg=N ① Fsinθ=f （2）

式中N 和f 分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有

f=μN （3） 联立①②③得F=mg θμθμcos sin - （4）

(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有

Fsinθ≤λN （5） 这时①式仍满足，联立①⑤得

sinθ-λcosθ≤λF

mg (6) 现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且

当F 无限大时极限为零，有 sinθ-λcosθ≤0 (7) 使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0

时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为

tanθ0=λ ⑧

图3

解法二：用摩擦角解第二问

（2）临界平衡时，受力分析如图4，有θ0=m ϕ ⑤

m f =Fsin 0θ ⑥ N Fsin o θ=λ ⑦ tan m ϕ=N f m ⑧

联立⑤⑥⑦⑧得:临界角的正切为 tan 0θ =λ ⑨

显然，本题的难点是临界平衡条件方程的构建，而用摩擦角寻找临界平衡条件

例1，（ A.C.出结论：1例2，（ A. mg 竖直向上

C. sin mg 水平向右

解析：由μF 全

N

f m F G m ϕ θ0 图4

作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面全反力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则00sin(45)sin15F mg mg ϕ=-=方向与水平成15º斜向右。即A 正确。例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水

平面夹角为θ，如图6，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，

木箱的速度保持不变，则（ ）

A. F 先减小后增大

B. F 一直增大

C. F 的功率减小

D. F 的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速

度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所

示，则由平衡条件得：sin mg N F θ=+，cos f N F μθ

==两式联立解得cos sin mg F μθμθ==+|1||1cos P P F v ψ==•图6