机器人技术—数学基础

x
PV a
b
c
d
zy
ax
by
cz
dw
0
w
与点矢 0 0 0 0T 相仿，平面 0 0 0 0 也没有意义
点和平面间的位置关系
设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平 面P可以表示为P： 0 0 1 1 或 P 0 0 2 2
有： PV=
0 0
0
v点在平面上方 v点在平面上 v点在平面下方
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动90º；
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P
v
Px Puvw ix (Pu iu Pv jv Pw kw)ix
o
Pv
y
(O')
Py Puvw jy (Pu iu Pv jv Pw kw ) jy x Pz Puvw kz (Pu iu Pv jv Pw kw )kz
– 运动学 – 滚动接触 – 非完整控制 – 数学基础-刚体运动
参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）
1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出 了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方 法，其数学基础即是齐次变换
• 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
z
z
V
o x
z y
x
图2-2
几个特定意义的齐次坐标：
• [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意 非零比例系数
• [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 • [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 • [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 • [0 0 0 0]T — 没有意义
• Biologically-inspired robotic devices
• Legged robots
• Rehabilitation robotics
• Underwater robots
• Field robotics
• Manipulator motion planning • Grasping
• Camera calibration
• Nanorobotic manipulation
• Intelligent transportation systems • Fish-like robot
• SLAM: Features and landmarks • Parallel robot …………
2个常用的公式：
点乘: a b axbx ayby azbz
i jk
叉乘: a b ax a y az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
bx by b z
2.1.2 平面的齐次坐标
• 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：
Px
Pu
Py
R33
Pv
Pz 1
0
0
0
1
Pw 1
R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：
R33 R（y, )R(z,)R(x, )
定义1： 当动坐标系 O'uvw 绕固定坐标系 Oxyz 各坐标轴顺序有限次
w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例1]：
V 3i 4 j 5k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（a、b、c）
– 具有直观的几何意义 – 能表达动力学、计算机视觉和
比例变换问题
– 为以后的比例变换、透视变换 等打下基础
x x wx px
T
y
y
wy
p
y
z
0
z
0
wz 0
pz 1
第二节 数学基础—齐次坐标和齐次变换
2.1 点和面的齐次坐标
2.1.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一 个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的 特定坐标—比例系数。
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对
应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则
P点在ΣO´uvw中可表示为：
z
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
0
0
cos s in
0
sin
cos
同理：
cos 0 sin
R（y,
)
0
1
0
sin 0 cos
cos - sin 0
R（z, ) sin cos 0
0
0 1
z
W'
w
o O'
u x
U'
z w
W'
o
O'
u
x
U'
vy
v' vy
合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点 Po'uvw 1 2 3 1T，相对固定参
文章： 分会场： 国家：
936/1599 192 53
I. 机器人学
• Technical Session的主要内容
• Human robot interaction
• Humanoid robot body motion
• Medical robotics
• Microrobots
• Sensor fusion
式识别之父 1985年去世
参考教材
• [中南大学]蔡自兴
中南大学教授，我国人工 智能和机器人领域著名专 家
中国人工智能学会智能机 器人专委会理事长
曾与付京逊教授一起工作 过
第一节 引言
• 串联机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端 执行器），用以操纵物体，或完成各种任务
• 关节的相对运动导致杆件的运动， 使末端执行器定位于所需要的方 位上
• 在一般机器人应用问题中，人们 感兴趣的是：末端执行器相对于 固定参考坐标数的空间几何描述， 也就是机器人的运动学问题
n
o
a
i
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
运动学研究的问题
I. 机器人学
• 机器人学 • 机械电子工程 • Dr. Kevin Craig
I. 机器人学
• IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA) 2010 安克雷奇
文章：
856/2034
分会场：
154
国家：
47
• IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) 2009 圣路易斯
• 引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放
一个点矢：
v
ai
bj
ck
列矩阵
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
a= x
y
, b=
, c= z
，w为比例系数
w ww
x
V
y z
x
y
z
wT
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 w值的不同而不同。在计算机图学中，w
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
解1：用画图的方法：
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v```
7
o′ u```
w```
o(o′) v y
u x
o(o′) u′ y
o
x
x w″
ix
kw
jy kw
kz
k
w
R 1 R* det R
则 : pxyz RPuvw
R为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，R是正交矩阵，
R 1 RT
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
Px
0Pu
Py
R
0
Pv
Pz 1
0
0
0
0 1
Pw 1
Pu
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换
平移齐次变换矩阵
1 0 0 a H Trans(a b c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
第二章 机器人运动学及其数学基础
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》 • [中南大学]蔡自兴《机器人学》 • [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编
程与控制》
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》
美籍华人 普渡大学（Purdue University）电机工程专业
著名教授 4部著作、400多篇论文 第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4, - 3, 7) R(y,90) R(Z,90)
0 0 1 4
1 0 0 3
0 1 0 7
0 0 0
1Hale Waihona Puke Baidu
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究运动学的方法
哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式
例如：点 V=[10 20 1 1]T 必定处于此平面内，而点 V=[0 0 2 1]T 处于平 P 的上方，点V=[0 0 0 1]T处于P平面下方，因为：
10
0 0 10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
1 0 0 R 0 1 0
0 0 1
ix
i
R(x, ) jy i
k
z
i
ix jv jy jv kz jv
ix
kw
jy kw
kz
k
w
1 ix iu 0
0
0
cos s in
0
sin
cos
方向余弦阵
W'
U'
u x
z w
O'
o
图2-5
V'
vy
三个基本旋转矩阵:
1
R(x, ) 0
考坐标系 Oxyz 做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求运动后点 Po'uvw 在固定参考坐标系 Oxyz 下的位置。
解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
用矩阵表示为:
Px
Py
Pz
ix
jy
kz
i i i
ix jv jy jv kz jv
Pu
u
图2-4
ix jy kz
kw kw kw
P Pv Pw
（2-7）
ix
i
定义 旋转矩阵为：R jy i
k
z
i
反过来：
Puvw R1 Pxyz
ix jv jy jv kz jv
iu 、jv、kw为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，
w
P
则P点在Σoxyz中可表示为：
o
v
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz
u
x
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
z
w
已知： Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
0Px
Pv
R 1
0
Py
Pw 1
0
0
0
0 1
Pz 1
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
R( x, )
即动坐标系 O，vw绕OX轴转动角，求 R(x, ) 的旋转矩阵，也就是 求出坐标系 O'vw中各轴单位矢量 i , jv , kw 在固定坐标系 Oxyz 中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：
0
0
0
11
1
② R（z, 90°） ③ R（y, 90°）
0 -1 0 0 1 3
P'' 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 2 2
0
0
0
1
1
1
0 0 1 03 2
P '''
0
1
0
0 1
1
-1 0 0 02 3
0
0
0
1 1
1
（2-14） （2-15） （2-16）