高考复习——《电磁感应》典型例题复习

十五、电磁感应

一、知识网络

二、画龙点睛

概念

1、磁通量

设在匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，磁场的磁感应强度为B，平面的面积为S，如图所示。

(1)定义：在匀强磁场中，磁感应强B与垂直磁场方向的面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量，简称磁通。

(2)公式：Φ＝BS

当平面与磁场方向不垂直时，如图所示。

Φ＝BS⊥＝BScosθ

(3)物理意义

物理学中规定：穿过垂直于磁感应强度方向的单位面积的磁感线条数等于磁感应强度B。所以，穿过某个面的磁感线条数表示穿过这个面的磁通量。

(4)单位：在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，简称韦，符号是Wb。

1Wb＝1T·1m2＝1V·s。

(5) 磁通密度：B＝ΦS⊥

磁感应强度B为垂直磁场方向单位面积的磁通量，故又叫磁通密度。

2、电磁感应现象

(1)电磁感应现象：利用磁场产生电流的现象，叫做电磁感应现象。

(2)感应电流：在电磁感应现象中产生的电流，叫做感应电流。

(3)产生电磁感应现象的条件

①产生感应电流条件的两种不同表述

a．闭合电路中的一部分导体与磁场发生相对运动

b．穿过闭合电路的磁场发生变化

②两种表述的比较和统一

a．两种情况产生感应电流的根本原因不同

闭合电路中的一部分导体与磁场发生相对运动时，是导体中的自由电子随导体一起运动，受到的洛伦兹力的一个分力使自由电子发生定向移动形成电流，这种情况产生的电流有时称为动生电流。

穿过闭合电路的磁场发生变化时，根据电磁场理论，变化的磁场周围产生电场，电场使导体中的自由电子定向移动形成电流，这种情况产生的电流有时称为感生电流。

b．两种表述的统一

两种表述可统一为穿过闭合电路的磁通量发生变化。

③产生电磁感应现象的条件

不论用什么方法，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生。

条件：a．闭合电路；b．磁通量变化

3、电磁感应现象中能量的转化

能的转化守恒定律是自然界普遍规律，同样也适用于电磁感应现象。

3、感应电动势

(1)定义：在电磁感应现象中产生的电动势，叫做感应电动势。从低电势位置指向高电

势位置。

(2)产生感应电动势的条件：穿过回路的磁通量发生变化。

(3)物理意义：感应电动势是反映电磁感应现象本质的物理量。

(4)方向规定：内电路中的感应电流方向，为感应电动势方向。

1、法拉第电磁感应定律

(1) 磁通量变化率：单位时间内磁通量的变化量，即ΔΦ

Δt

反映磁通量变化的快慢。

(2)法拉第电磁感应定律

①内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量变化率成正比。这就是法

拉第电磁感应定律。

规律

②公式：

设t 1时刻磁通量为Φ1，t 2时刻磁通量为Φ2。在Δt ＝t 2－t 1时间内磁通量变化量ΔΦ＝

Φ2－Φ1。Δt 内磁通量的变化率为ΔΦΔt 。设感应电动势为E ，则有 E ＝k ΔΦΔt

其中k 为比例常数。在国际单位制中，上式中各量的单位都已确定：E 的单位是伏特（V ），Φ的单位是韦伯（Wb ），t 的单位是秒（s ）。同学们可以自己证明1V ＝1Wb/s ，上式中的k ＝1，所以

E ＝ΔΦΔt

设闭合电路是一个n 匝线圈，可以看作是由n 个单匝线圈串联而成，因此整个线圈中的

感应电动势是单匝线圈的n 倍，即

E ＝n ΔΦΔt

磁通量改变的方式：①线圈跟磁体之间发生相对运动，这种改变方式是S 不变而相当于

B 发生变化；②线圈不动，线圈所围面积也不变，但穿过线圈面积的磁感应强度是时间的函数；③线圈所围面积发生变化，线圈中的一部分导体做切割磁感线运动，其实质也是B 不变而S 增大或减小；④线圈所围面积不变，磁感应强度也不变，但二者之间夹角发生变化，如匀强磁场中转动的矩形线圈就是典型例子．

3.关于磁通量变化

在匀强磁场中，磁通量Φ=B S sin α（α是B 与S 的夹角），磁通量的变化ΔΦ=Φ2-

Φ1有多种形式，主要有：

①S 、α不变，B 改变，这时ΔΦ=ΔB S sin α

②B 、α不变，S 改变，这时ΔΦ=ΔS B sin α

③B 、S 不变，α改变，这时ΔΦ=BS (sin α2-sin α1)

当B 、S 、α中有两个或三个一起变化时，就要分别计算Φ1、Φ2，再求Φ2-Φ1了。

在非匀强磁场中，磁通量变化比较复杂。有几种情况需要特别注意：

①如图所示，矩形线圈沿a →b →c 在条形磁铁附近移动，a

a

c b M N S

试判断穿过线圈的磁通量如何变化如果线圈M 沿条形磁铁轴线向右移动，穿过该线圈的磁通量如何变化

（穿过上边线圈的磁通量由方向向上减小到零，再变为方向向下增大；右边线圈的磁通

量由方向向下减小到零，再变为方向向上增大）

②如图所示，环形导线a 中有顺时针方向的电流，a 环外有两个同心导线圈b 、

c ，与环形导线a 在同一平面内。当a 中的电流增大时，穿过线圈b 、c 的磁通量各

如何变化在相同时间内哪一个变化更大 （b 、c 线圈所围面积内的磁通量有向里的也有向外的，但向里的更多，所以总磁通量

向里，a 中的电流增大时，总磁通量也向里增大。由于穿过b 线圈向外的磁通量比

穿过c 线圈的少，所以穿过b 线圈的磁通量更大，变化也更大。）

③如图所示，虚线圆a 内有垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线圆a 外是无磁场

空间。环外有两个同心导线圈b 、c ，与虚线圆a 在同一平面内。当虚线圆a 中的磁通量增大时，穿过线圈b 、c 的磁通量各如何变化在相同时间内哪一个变化更大

（与②的情况不同，b 、c 线圈所围面积内都只有向里的磁通量，且大小相同。因此穿

过它们的磁通量和磁通量变化都始终是相同的。）

2、导体做切割磁感线运动时的感应电动势

(1)导体切割磁感线的速度方向与磁场方向垂直

如图所示，闭合线圈中一部分导体ab 处于匀强磁场中，磁感应强度是B ，ab 以速度v

匀速切割磁力线，求产生的感应电动势。

在Δt 时间内，线框的面积变化量：ΔS ＝Lv Δt

穿过闭合电路的的磁通量的变化量：ΔΦ＝B ΔS

代入公式E ＝t

?φ?中，得到 a

b c b

c

E＝BLv

(2)导体切割磁感线的速度方向与磁场方向有一个夹角θ

当导体运动方向与磁感线方向有一个夹角θ时，可以把速度分解为两个分量：垂直于磁感线的分量v⊥＝vsinθ和平行于磁感线的分量v∥＝vcosθ。

后者不切割磁感线，不产生感应电动势。前者切割磁感线，产生感应电动势。感应电动势的表达式为：

E＝BLv⊥＝BLvsinθ

例题：如图所示固定于水平面上的金属框cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动。此时abed构成一个边长L的正方形，棒电阻r，其余电阻不计。开始时磁感应强度为B。

(1)若以t＝0时起，磁感应强度均匀增加，每秒增加量为k，同时保持棒静止，求棒中的感应电流I；

(2)在上述情况中，棒始终保持静止，当t＝t1时需加垂直于棒的水平外力F＝

(3)若从t＝0时起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右匀速运动，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度怎样随时间变化

解析：(1)E＝

2

B L

t

??

?

＝kL2

I＝E

r

＝

2

kL

r

，逆时针方向。

(2)F外＝BIL＝(B＋kt)

2

kL

r

·L，方向向右。

(3)没有感应电流，故ΔΦ＝0，则有B0L2＝BL(L＋v t)

所以B ＝2

0B L L vt

+ 例题： 如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ； ⑵拉力的功率P ； ⑶拉力做的功W ； ⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。

解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L 1还是L 2 ，还应该思考一下这些物理量与速度v 之间有什么关系。

⑴v R

v L B F BIL F R E I v BL E ∝=∴===22222,,, ⑵22222v R v L B Fv P ∝== ⑶v R v L L B FL W ∝==12

221 ⑷v W Q ∝= ⑸ R

t R E t I q ?Φ==?=与v 无关 特别要注意电热Q 和电荷q 的区别，其中R q ?Φ=与速度无关！

例题：如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而下滑。试求ab 下滑的最大速度v m

解：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E 、感应电流I 、安培力F 都随之增大，加速度随之减小。当F 增大到F=mg 时，加速度变为零，这时ab 达到最大速度。

由mg R v L B F m ==22，可得22L

B mgR v m = 这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重

力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的

过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的

过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。

进一步讨论：如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab 下落一段距离后再闭

合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终稳定后的速度总是一样的）。

(3)说明

①根据E ＝t

?φ?求出的一般是Δt 时间内的平均感应电动势。只有当Δt →0时，求出的才是瞬时感应电动势。

②根据E ＝BLv ⊥＝BL vsinθ，如果用平均量代入，求出的平均感应电动势。用对应的瞬

时量代入，求出的是瞬时感应电动势。

③在B 、L 、v 中如果有任意两个量平行，都不会切割磁感线，感应电动势都等于零。

3、楞次定律──感应电流的方向

(1)楞次定律

①内容：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量

的变化。这就是楞次定律。

②“阻碍”和“变化”的含义

感应电流的磁场总是要阻碍引起感应电流的磁通量的变化，而不是阻碍引起感应电流的

磁场。因此，不能认为感应电流的磁场的方向和引起感应电流的磁场方向相反。

磁通量变化 感应电流

感应电流的磁场

产生 产生

阻碍

发生电磁感应现象的这部分电路就相当于电源，在电源的内部，电流的方向是从低电势流向高电势。

(2) 利用楞次定律判定感应电流方向的一般步骤是：

①明确闭合回路中引起感应电流的原磁场方向；

②确定原磁场穿过闭合回路中的磁通量如何变化(是增大还是减小)；

③根据楞次定律确定感应电流的磁场方向．注意“阻碍”不是阻止，阻碍磁通量变化指：磁通量增加时，阻碍增加(感应电流的磁场和原磁场方向相反，起抵消作用)；磁通量减少时，阻碍减少(感应电流的磁场和原磁场方向一致，起补偿作用)，简称“增反减同”．

④利用安培定则确定感应电流方向．

例题：如图所示，有两个同心导体圆环。内环中通有顺时针方向的电流，外环中原来无电流。当内环中电流逐渐增大时，外环中有无感应电流方向如何

解：由于磁感线是闭合曲线，内环内部向里的磁感线条数和内环外部向外的所有磁感线条数相等，所以外环所围面积内（这里指包括内环圆面积在内的总面积，而不只是环形区域的面积）的总磁通向里、增大，所以外环中感应电流磁场的方向为向外，由安培定则，外环中感应电流方向为逆时针。

例题：如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S极向下以初速度v0沿过导体环圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何

解：从“阻碍磁通量变化”来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈M所在的水平面时，磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈M的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。

从“阻碍相对运动”来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶段），把

条形磁铁等效为螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。

例题：如图所示，O1O2是矩形导线框abcd的对称轴，其左方有垂直于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下abcd中有感应电流产生方向如何

A.将abcd 向纸外平移

B.将abcd向右平移

C.将abcd以ab为轴转动60°

D.将abcd以cd为轴转动60°

解：A、C两种情况下穿过abcd的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B、D两种情况下原磁通向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为abcd。

(3)楞次定律的多种表述

①从磁通量变化的角度：感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

②从导体和磁场的相对运动：导体和磁体发生相对运动时，感应电流的磁场总是阻碍相对

运动。

③从感应电流的磁场和原磁场：感应电流的磁场总是阻碍原磁场的变化。(增反、减同)

④楞次定律的特例──右手定则

伸开右手让拇指跟其余四指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，让磁感线垂直众手心进入，拇指指向导体的运动方向，其余四指指的方向就是感应电流的方向。

应用右手定则时应注意：

①右手定则仅在导体切割磁感线时使用，应用时要注意磁场方向、运动方向、感应电流

方向三者互相垂直．

②当导体的运动方向与磁场方向不垂直时，拇指应指向切割磁感线的分速度方向．

③若形成闭合回路，四指指向感应电流方向；若未形成闭合回路，四指指向高电势．

④“因电而动”用左手定则．“因动而电”用右手定则．

导体切割磁感线产生感应电流是磁通量发生变化引起感应电流的特例，所以判定电流方向的右手定则也是楞次定律的一个特例．用右手定则能判定的，一定也能用楞次定律判定，只是对导体在磁场中切割磁感线而产生感应电流方向的判定用右手定则更为简便．

例题：如图所示装置中，cd杆原来静止。当ab杆做如下那些运动时，cd杆将向右移动

A.向右匀速运动

B.向右加速运动

C.向左加速运动

D.向左减速运动

解：.ab 匀速运动时，ab中感应电流恒定，L1中磁通量不变，穿过L2的磁通量不变化，L2中无感应电流产生，cd保持静止，A不正确；ab向右加速

运动时，L2中的磁通量向下，增大，通过cd的电流方向向下，cd向右移动，B正确；同理可得C不正确，D正确。选B、D

例题：如图所示，当磁铁绕O1O2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动

解：本题分析方法很多，最简单的方法是：从“阻碍相对运动”的角度来看，导线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用“阻碍磁通量变化”来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。

例题：如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a、b。

当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a、b将如何移动

解：若按常规用“阻碍磁通量变化”判断，则需要根据下端磁极的极性分别进行讨论，比较繁琐。而且在判定a、b所受磁场力时。应该以磁极对它们的磁场力为主，不能以a、b间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由Φ=BS可知磁通量有增大的趋势，因此S的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以a、b将互相靠近。这样判定比较起来就简便得多。

例题：如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a、b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、b将如何移动

解：根据Φ=BS，磁铁向下移动过程中，B增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势，由于S不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以a、b将相互远离。

例题：如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O1O2轴转动90°的过程中，放在导轨右端附近的金属棒ab将如何移动

解：无论条形磁铁的哪个极为N极，也无论是顺时针转动还是逆时针

转动，在转动90°过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线

条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒ab将向右移动。

4、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现

能量转化与守恒定律是自然界普遍适用的定律，在电磁感应现象中同样遵循这条规律。例题：如图所示，用丝线将一个闭合金属环悬于O点，虚线左边有垂直于纸面向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗

解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。还可以用能量守恒来解释：有电流产生，

磁通量不变化，无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。

就一定有机械能向电能转化，摆的机械能将不断减小。若空间都有匀强磁场，穿过金属环的

5、(1)自感现象：这种由于导体本身的电流发生变化而产生的电磁感应现象，叫做自感现象。

(2)自感电动势

①概念：在自感现象中产生的感应电动势，叫做自感电动势。

②公式

自感电动势也遵从法拉第电磁感应定律。

对于线圈，Φ＝BS，Φ∝B，B∝I，得出

Φt ??∝I t

?? 由法拉第电磁感应定律E ＝N

Φt ?? E ＝L I t

?? 所以，自感电动势的大小与线圈中电流变化的快慢有关。

③自感电动势方向

由楞次定律得，自感电动势的方向要阻碍原电流的变化。

(3)自感

对于同一个线圈来说，电流变化得快，穿过线圈的磁通量也就变化得快，线圈中产生

的自感电动势就大。对于不同的线圈，在电流变化快慢相同的情况下，产生的自感电动势是不同的。

①概念：电学中用自感系数来表示线圈的这种特性，自感系数简称自感或电感。

②意义：L 的大小表明了线圈对电流变化的阻碍作用大小，反映了线圈对电流变化的延

时作用的强弱。

③单位：自感系数的单位是亨利，简称亨，符号是H 。如果通过线圈的电流在1s 内改

变1A 时，产生的自感电动势是1V ，这个线圈的自感系数就是1H 。

亨利这个单位较大，常用的较小单位有毫亨（mH ）和微亨（μH）。

1mH ＝10－3

H

1μH＝10－6H

④决定因素

线圈的自感系数跟线圈的形状、长短、匝数等因素有关系。线圈的横截面积越大，线圈

越长，匝数越密，它的自感系数就越大。另外，有铁芯的线圈的自感系数比没有铁芯时大得多。

例题：如图所示，a、b灯分别标有“36V 40W”和“36V 25W”，闭合电键，调节R，使a、b都正常发光。这时断开电键后重做实验：电键闭合后看到的现象是什么稳定后那只灯较亮再断开电键，又将看到什么现象

解：重新闭合瞬间，由于电感线圈对电流增大的阻碍作用，a将慢慢亮起来，而b立即变亮。这时L的作用相当于一个大电阻；稳定后两灯都正常发光，a的额定功率大，所以较亮。这时L的作用相当于一只普通的电阻（就是该线圈的内阻）；断开瞬间，由于电感线圈对电流减小的阻碍作用，通过a的电流将逐渐减小，a渐渐变暗到熄灭，而abRL组成同一个闭合回路，所以b灯也将逐渐变暗到熄灭，而且开始还会闪亮一下（因为原来有I a>I b），并且通过b的电流方向与原来的电流方向相反。这时L的作用相当于一个电源。（若将a灯的额定功率小于b灯，则断开电键后b灯不会出现“闪亮”现象。）

3、自感的应用和防止

(1)应用

自感现象在各种电器设备和无线电设备中有着广泛的应用。自感线圈是交变电流路中的重要元件。在无线电设备中，用它和电容器组成振荡电路，以发射电磁波。日光灯电路中的镇流器，也是利用自感现象制成的。

(2)防止

自感现象也有不利的一面。自感系数很大而电流又很强的电路（如大型电动机的定子绕

组）中，在切断电路的瞬间，由于电流在很短时间内发生很大变化，会产生很高的自感电动势，使开关的闸刀和固定的夹片之间的空气电离而变成导体，形成电弧。这会烧坏开关，甚至危及工作人员的安全。因此，切断这类电路时必须采取特制的安全开关。常见的安全开关是将开关放在绝缘性能良好的油中，防止电弧的产生，保证安全。

制造精密电阻时，为了消除使用过程中因电流变化引起的自感现象，往

往采用双线绕法，如图所示。由于两根平行导线的电流方向相反，它们的电

流相互抵消，从而可以使自感现象的影响减弱到可以忽略的程度。

6、电磁感应规律的综合应用

(1)电磁感应规律与电路

在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，将它们接上电容器，便可使电容器充电，将它们接上电阻等用电器，便可对用电器供电，在回路中形成电流．因此电磁感应问题又往往跟电路问题联系起来，解决这类问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律，另一方面又要考虑电路中的有关规律，一般解此类问题的基本思路是：

①明确哪一部分电路产生电磁感应，则这部分电路就是电源．

②正确分析电路的结构，画出等效电路图．

③结合有关的电路规律建立方程求解．

(2)电磁感应和力学

电磁感应与力学综合中，又分为两种情况：

①与动力学、运动学结合的动态分析，思考方法是：电磁感应现象中感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定状态．

②与功、能、动量守恒的综合应用．从能量转化的观点求解此类问题可使解题简化．例：闭合电路的部分导体做切割磁感线运动引起的电磁感应现象中，都有安培力做功．正是导体

通过克服安培力做功将机械能转化为电能，这个功值总是与做功过程中转化为电能的数值相等．在无摩擦的情况下，又与机械能的减少数值相等，在只有电阻的电路中，电能又在电流流动的过程中克服电阻转化为电热Q 热，这样可得到关系式ΔE 机＝ΔE 电＝Q 热，按照这个关系式解题，常常带来很大方便．

例题：如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L 1、L 2，回路的总电阻为R 。从t =0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B =kt ，（k >0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动

解：由t

E ??Φ== kL 1L 2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安 培力F=BIL ∝B =kt ∝t ，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。这时有：2

212211,L L k mgR t mg R L kL L kt μμ==?? 例题：如图所示，xoy 坐标系y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向

⑵线圈的转动轴与磁感线垂直。如图，矩形线圈的长、宽分别为L 1、L 2，所围面积为S ，向右的匀强磁场的磁感应强度为B ，线圈绕图示的轴以角速度ω匀速转动。线圈的ab 、cd 两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得E=BSω。如果线圈由n 匝导线绕制而成，则E=nBSω。从图示位置开始计时，则感应电动势的瞬时值为e=nBSωcos ωt 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B 垂直）。

实际上，这就是交流发电机发出的交流电的瞬时电动势公式。

例题： 如图所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d ，线圈ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热

解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd 。

例题： 如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ,电阻为r ，开始时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab 一个向右的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大加速度a m 、

产生的电热各是多少

解：给ab 冲量后，ab 获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd 的加速度最大，最终cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab 、cd 横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2Rt ∝R ，所以cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab 的初速度为v 1=I/m ，因此有：

2

/,,2,1m F a BLI F r r E I BLv E m ==+== ，解得r m I L B a m 22232=。最后的共同速度为v m =2I/3m ，系统动能损失为ΔE K =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2

/ 9m

R

v l B F 22 例题： 如图所示，水平的平行虚线间距为d =50cm ，其间有B=的匀强磁场。一个正方形线圈边长为l =10cm ，线圈质量m=100g ，电阻为R =Ω。开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h =80cm 。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。取g =10m/s 2，求：⑴线圈进入磁场过程中产生的电热Q 。⑵线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度v 。⑶线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值a 。

解：⑴由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过

程中产生的电热Q 就是线圈从图中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置动能相同，由能量守恒Q =mgd=

⑵3位置时线圈速度一定最小，而3到4线圈是自由落体运动因此有

v 02-v 2=2g (d-l )，得v =22m/s

⑶2到3是减速过程，因此安培力 减小，由F -mg =ma 知加速度减小，到3位置时加速度最小，a=s 2