二次函数与三角形面积最大值专题

二次函数与三角形最大面积

1、在坐标系中求三角形的面积有3种方法：

（1）割法：（和、差）的相互转化

三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形

的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。公式法：

2

1铅垂高*水平宽

（2）补法：用大图形的面积–其他图形的面积（大三角形的面积

–小三角形的积）

1、直线AB 经过x 轴上的一点A （2,0），且与抛物线y=ax 2

相交于B ，C 两点，已知点

B 坐标为（1，1）

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）如果D 为抛物线上的一点，使得△

AOD 与△OBC 的面积相等，求点D 坐标．

2、如图：如图，直线

x y

2

1与抛物线64

12

x

y

交于A 、B 两点，

（1）求A 、B 两点的坐标。（2）点Q 在X 轴上方的抛物线上，当Q 点的坐标为多少时，

△ABQ 的面

积最大？最大面积有为多少？

3、、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)、B(0，-4)、C(2,0)三点，

（1）求抛物线的解析式，

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为

m, △AMB 的面积为S,求S 关于m 的函

数关系式，并求出

S 的最大值。

（3）若点P 为抛物线上的动点，点

Q 是直线y= - x 上的动点，判断有几个位置能使以点

P 、Q 、B 、O 为

顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点

Q 的坐标

A B

C M

O

x

y

X A

B

Y

4、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜5+1）

与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请

求出m的值；若不存在，请说明理由

5、已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称

轴是直线x=1．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2011?济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为：y=kx+3．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式．（2）设⊙C 与PA 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置

时，都有△AMN ∽△ABP ．请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；（3）是否存在使△AMN 的面积等于

25

32的k 值？若存在，请求出符合的

k 值；若不存在，请说明理由．

练习巩固：

3．（2011?南充）抛物线

y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A （m-4，0）和B （m ，0），与直线y= -x+p 相交于

点A 和点C （2m-4，m-6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A ，C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形面积为

12，求点P ，Q 的

坐标；

（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当△

PQM 的面积最大时，请求出△

PQM 的

最大面积及点

M 的坐标．

2.如图,在平面直角坐标系中，直线AB 与X 轴交于点A(-2,0)，与反比例函数在第一象限内的图像交于点B(2，n)，连接BO,若S △AOB=23，(1)求改反比例函数和直线

AB 的解析式。

（2）若直线AB 与Y 轴的交点为C ，P 为反比例函数在第一象限内的图像上一点（点P 在点B 的右侧），连接BP 、OP ，若三角形POB 的面积是S △COB 的面积的2倍，求点P 的坐标。

B

C P A

O