2008年考研数学三真题及答案详解word版
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又
，整理得：
则 线性相关，矛盾（因为 分别属于不同特征值得特征向量，故 线性无关）.
故： 线性无关.
（2）记 则 可逆，
即： ， .
（22）（本题满分11分）
设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ， 的概率密度为 ，记
（1）求
（2）求 的概率密度．
解：1.
2.当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
由 ，有 ，则
故
的同解方程组为 ，则基础解系为 ， 为任意常数。
又 ，故可取特解为
所以 的通解为 为任意常数。
（21）（本题满分11分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
证明（1） 线性无关；
（2）令 ，求 .
解：（1）假设 线性相关，则 可由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零（若 同时为0，则 为0，由 可知 ）
解：
分析：因为 ，所以 ， 服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限 .
解：
(16)（本题满分10分）
设 是由方程 所确定的函数，其中 具有2阶导数且 时，求
(1)
（2）记 ，求 .
当 时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
是总体为 的简单随机样本.记 ，
，
（1）证 是 的无偏估计量.
（2）当 时，求 .
解：(1)
因为： , ,而
,所以T是 的无偏估计
(2) , ,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
解：1
分析：由
（10）函数 ，求积分 .
解：
分析：
所以
（11） .其中
解：
分析：
（12）微分方程 求方程的特解 .
解：
分析：由 所以 ，又 ，所以 .
（13）设3阶矩阵 的特征值1，2，2， .
解： 的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵 ，使得
分析： ，
因
，则
（14）设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 .
解：
①
②
(17)（本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明 是周期为2的周期函数．
解：
（1）对于 ，令 ，则
因为 的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以 是周期为2的周期函数
(18)（本题满分10分）
求二重积分 其中
解：
(19)（本题满分10分）
已知年复利为0.05，现存 万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第 年取出10+9 万元，问 至少为多少时，可以一直取下去？
解：由题得
设
两边求积分
由 ，
对上式两边求导
令 ，则
所以 至少应为3795.
(20)（本题满分11分）
设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ，
（1）求证
（2） 为何值，方程组有唯一解，求
（3） 为何值，方程组有无穷多解，求通解
解：①
②方程组有唯一解
由 ，知 ，又 ，故 。
记 ，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解
其中 是矩形面积， 为曲边梯形的面积，所以 为曲边三角形的面积。
（5）设 为 阶非0矩阵 为 阶单位矩阵若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
解：
分析： ，
故 均可逆。
（6）设 则在实数域上与 合同矩阵为（ ）
. .
. .
解：
分析：
则 。记 ，则
则
正、负惯性指数相同，故选
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
解：
分析： ，所以 是函数 的可去间断点。
（2）设 连续， ， ， ，则 ，则 （ ）
解：选
分析；用极坐标得
（3）设 则函数在原点偏导数存在的情况是( )
解：
分析： ，
故 ，所以偏导数不存在。
所以偏导数存在。故选
（4）曲线段方程为 函数在区间 上有连续导数则定积分 （ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
解：
分wk.baidu.com：
（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）
. .
. .
解：
分析：
（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）
. .
. .
解：选
分析：用排除法
设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、
由 ，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 在 内连续，则 .
，整理得：
则 线性相关，矛盾（因为 分别属于不同特征值得特征向量，故 线性无关）.
故： 线性无关.
（2）记 则 可逆，
即： ， .
（22）（本题满分11分）
设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ， 的概率密度为 ，记
（1）求
（2）求 的概率密度．
解：1.
2.当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
由 ，有 ，则
故
的同解方程组为 ，则基础解系为 ， 为任意常数。
又 ，故可取特解为
所以 的通解为 为任意常数。
（21）（本题满分11分）
设 为3阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 ，
证明（1） 线性无关；
（2）令 ，求 .
解：（1）假设 线性相关，则 可由 线性表出，不妨设 ，其中 不全为零（若 同时为0，则 为0，由 可知 ）
解：
分析：因为 ，所以 ， 服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限 .
解：
(16)（本题满分10分）
设 是由方程 所确定的函数，其中 具有2阶导数且 时，求
(1)
（2）记 ，求 .
当 时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
是总体为 的简单随机样本.记 ，
，
（1）证 是 的无偏估计量.
（2）当 时，求 .
解：(1)
因为： , ,而
,所以T是 的无偏估计
(2) , ,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
解：1
分析：由
（10）函数 ，求积分 .
解：
分析：
所以
（11） .其中
解：
分析：
（12）微分方程 求方程的特解 .
解：
分析：由 所以 ，又 ，所以 .
（13）设3阶矩阵 的特征值1，2，2， .
解： 的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵 ，使得
分析： ，
因
，则
（14）设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 .
解：
①
②
(17)（本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明 是周期为2的周期函数．
解：
（1）对于 ，令 ，则
因为 的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以 是周期为2的周期函数
(18)（本题满分10分）
求二重积分 其中
解：
(19)（本题满分10分）
已知年复利为0.05，现存 万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第 年取出10+9 万元，问 至少为多少时，可以一直取下去？
解：由题得
设
两边求积分
由 ，
对上式两边求导
令 ，则
所以 至少应为3795.
(20)（本题满分11分）
设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ，
（1）求证
（2） 为何值，方程组有唯一解，求
（3） 为何值，方程组有无穷多解，求通解
解：①
②方程组有唯一解
由 ，知 ，又 ，故 。
记 ，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解
其中 是矩形面积， 为曲边梯形的面积，所以 为曲边三角形的面积。
（5）设 为 阶非0矩阵 为 阶单位矩阵若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
解：
分析： ，
故 均可逆。
（6）设 则在实数域上与 合同矩阵为（ ）
. .
. .
解：
分析：
则 。记 ，则
则
正、负惯性指数相同，故选
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
解：
分析： ，所以 是函数 的可去间断点。
（2）设 连续， ， ， ，则 ，则 （ ）
解：选
分析；用极坐标得
（3）设 则函数在原点偏导数存在的情况是( )
解：
分析： ，
故 ，所以偏导数不存在。
所以偏导数存在。故选
（4）曲线段方程为 函数在区间 上有连续导数则定积分 （ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
解：
分wk.baidu.com：
（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）
. .
. .
解：
分析：
（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）
. .
. .
解：选
分析：用排除法
设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、
由 ，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 在 内连续，则 .