北师大版数学高二-选修1试题 抛物线及其标准方程1

第二章 §2 2.1

一、选择题

1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．直线 C ．抛物线或直线 D ．不存在

[答案] C

[解析] 当点F 在直线l 上时，为过点F 与l 垂直的直线；当点F 不在直线l 上时，为抛物线．

2．抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为( ) A ．(20,0) B ．(10,0) C ．(5,0) D ．(0,5) [答案] C

3．已知抛物线y ＝3

4x 2，则它的焦点坐标是( )

A ．(0，3

16)

B ．(3

16，0)

C ．(1

3，0)

D ．(0，1

3)

[答案] D

[解析] 由y ＝34x 2，得x 2＝43y ，则p 2＝13，抛物线开口向上，所以焦点坐标为(0，1

3)．

4．若抛物线y 2＝2px

的焦点与椭圆x 26＋y 2

2

＝1的右焦点重合，则p 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4 [答案] D

[解析] 椭圆的右焦点为(2,0)， ∴p

2

＝2，∴p ＝4. 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0

[答案] D

[解析]抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．

∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4B．6

C．8D．12

[答案] B

[解析]本题考查抛物线的定义．

由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.

二、填空题

7．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝________.

[答案] 5

[解析]设P(x0，y0)，抛物线y2＝4x的准线x＝－1，

则P到准线的距离为x0＋1.

∵P到焦点的距离为6，

∴由抛物线定义得x0＋1＝6，

∴x0＝5.

8．根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为x＝－1，________；

(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2，________.

[答案](1)y2＝4x(2)y2＝－4x

[解析](1)∵抛物线的准线方程为x＝－1，

＝1，∴p＝2，

∴焦点在x轴正半轴，且p

2

∴抛物线的方程为y2＝4x.

(2)∵焦点到准线距离为2，∴p＝2.

又∵焦点在x轴负半轴上，

∴抛物线方程为y2＝－4x.

三、解答题

9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点(3，－4)；

(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． [解析] (1)∵点(3，－4)在第四象限，

∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94

，

∴所求抛物线的方程为y 2＝

163x 或x 2＝－9

4

y . (2)对于直线x ＋3y ＋15＝0，令x ＝0，得y ＝－5； 令y ＝0，得x ＝－15.

∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程是x 2＝－20y 或y 2＝－60x .

10．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货后木船露在水面上的部分高为3

4m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不

能通航？

[答案] 2m

[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p >0)上．

∴16＝－2p ×(－5)，2p ＝16

5

.

∴抛物线方程为x 2＝－16

5

y (－4≤x ≤4)．

设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航，设B (2，y ′)． 由22＝－165×y ′，∴y ′＝－54

.

∴水面与抛物线拱顶相距|y ′|＋3

4

＝2(m)．

水面上涨到与抛物线拱顶相距2m 时，木船开始不能通航.

一、选择题

1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线

[答案] A

[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．

2．抛物线y ＝1

a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )

A ．(0，a 4)或(0，－a

4)

B ．(0，a

4)

C ．(0，14a )或(0，－1

4a )

D ．(0，1

4a

)

[答案] B

[解析] 抛物线的标准方程为x 2＝ay ，当a >0时，2p ＝a ，p ＝a 2，焦点坐标为(0，a

4)；当

a <0时，2p ＝－a ，p ＝－a 2，焦点坐标为(0，－p 2)，即(0，a

4

)．故选B.

3．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x

C ．x 2＝12y

D ．x 2＝－12y

[答案] C

[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．

4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为 ( ) A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4

[答案] C

[解析] 抛物线的准线为x ＝－p

2

，