矩形板稳定理论

图4.17 所示四边简支矩形板，在纵向承受均匀压力N 。根据弹性理论，板在纵向均匀受压下屈曲的平衡微分方程为：

022********=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂x N y y x x

D ωωωω

(4.34)

式中 ω——板的挠度；

N ——板单位宽度所受的均布力；

()

2

3

112ν

-=Et D ——板单位宽度的抗弯刚度，其中t 是板厚，ν是钢材的泊松比。

四边简支的矩形板屈曲时，挠度可用下列二重三角级数表示：

∑∑∞=∞

==1m 1

n mn sin

sin

b

y

n a x m A ππω (4.35)

此式满足四个简支边上挠度和弯矩均为零的边界条件，式中m 为x 方向的半波数，n 为

y 方向的半波数。a 和b 分别为板的长度和宽度。

根据 (4.35) 式代入(4.34)得：

0sin sin 21m 1n 22244422424444mn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∑∑∞

=∞

=b y

n a x m a m D N b m b a n m a

m A ππππππ 因为板处于微弯状态，无穷级数中的系数mn A 不能恒为零，只有括号中的多项式为零，即：

2

222

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=m b a n a m b b D N π

(4.36)

临界力是板保持微弯状态的最小荷载，从上式可见，当1=n 时（沿y 方向只有一个半

波）N 为最小。故取1=n ，得临界压力为：

222

2

2cr b D k mb a a mb

b D N ππ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=

(4.37)

式中 2

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=mb a a mb k 称为板的屈曲系数。

取x 方向半波数=m 1，2，3，4……，可得图4.18所示与k 与b a /的关系曲线。图中的实线表示对于任意给定b a /的值，使k 最小的曲线段。可以看出，屈曲的半波数m 随b a /值增大而增加。当2/≤b a 时，板屈曲成一个半波；当6/2<

个半波；当

12/6<

由 (4.37) 式得临界应力：

()

2

22cr cr 112⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==b t E k t N νπσ

(4.38)

式（4.38）是四边简支矩形板临界应力计算的基本公式。此式虽然是由单向均匀受压的情况导出，但也适用于其他受力形式，后面将多次用到，只是其中的屈曲系数k 将根据不同的受力形式及约束等具体情况而取不同的值。