圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：

a.点在圆内

d ＜r ； b.点在圆上

d=r ； c.点在圆外

d ＞r

(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：

① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+

② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

(1) 当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫

⎝⎛--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫

⎝⎛--

2,2

E D . (3) 当0422<-+

F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且

0422 AF E D -+.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；

3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0

2

2

F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解

的个数来判断：

（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆2

121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2

22

2222)()(:r b y a x C =-+-，

圆心距2

21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；

外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程

圆1C ：22

1110x y D x E y F ++++=， 圆2C ：22

2220x y D x E y F ++++=，

则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：22

2220x y D x E y F ++++=交点的圆系

方程为()

22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：

① 上述圆系不包括2C ；

② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③ 过直线0A x B y C ++=与圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为

()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=

6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立

②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪

⎩

⎪

⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2+(y —b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2

特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦

(1)过⊙C ：2

22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，

则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--

8. 切线长：

若圆的方程为(x -a )2

(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为

d =22020b)(+)(r y a x ---．

9. 圆心的三个重要几何性质：

① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C 1：x 2 +y 2 —2x =0和圆C 2：x 2 +y 2 +4 y =0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。

一、求圆的方程

例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=

+-y x 相切的圆的方程为( )

(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2

2=-++y x

(C)9)1()

2(22

=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x

二、位置关系问题

例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，

则a 的取值范围是( )