结构可靠度计算方法一次二阶矩

2、推导过程
设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机 变量，其平均值为 X i ,标准差为 X i ,功能函数
Zg (x 1 ,x 2, ,x n)
将功能函数Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)处 展开且保留至一次项，即
Zg( , X 1 X 2, , X n)i n1 X gi X iX i
p*
X
* i
Xi
Xi
1
n
i1
g X i
Xi
P*
2 2
(3-16) (3-17)
随机变量满足正态分布，即
Xi Xi Xi
Xi* cosXi*
Xi Xi Xi cosXi*
其中：
cos
X
* i
g X i
P*
Xi
2
n g
i1 X i
P*
Xi
(3-18) (3-19)
➢对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
➢选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
▪ 适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求 不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限 状态的可靠度分析。
5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互 独立的随机变量，其平均值为μxi（i=1,2,…,n) ，标准差为σxi(i=1,2,…,n)，功能函数 Z=g(X1,X2,…,Xn)。求结构可靠指标β？
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《隧道与地下结构可靠度》课程 第三讲
结构可靠度计算方法
龚 伦 副教授
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
主要内容
1. 基本概念 2. 一次二阶矩理论的中心点法 3. 一次二阶矩理论的验算点法(JC
故称为一次二阶矩的改进方法。 数学推导过程如下：
设X1,X2, …,Xn(i=1,2,,n)为基本变量，且相互独立，则 极限状态功能函数方程为： Z g (X 1 ,X 2 , ,X n ) (3-8)
将极限方程用泰勒级数在P*（X*1,X*2,…,X*n)点上展 开，取一次项，可得极限方程为：
Zg(X1 *,X2 *, ,Xn *)i n1 X gi*p* XiXi* 0
[解] 将功能函数Z在随机变量的平均值处 泰勒级数展开，且保留一次项，即
Zg(1,2, ,n)i n1X giXiXi
▪ ZL的平均值和方差为：
Z E ( Z ) g (X 1 ,X 2 , ,X n )
2 ZL
EZE(Z)2
i n1Xgi 2 Xi E(Xi)2pi i n1Xgi 2X 2i
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二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
其基本思想：首先，将非线性功能函数 在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展 开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函 数的平均值和标准差。
(3-22)
3、正态分布时的推导过程 两个随机变量为正态分布时，其极限方程为
Zg (R ,S )R S 0
标准化变换
S
S S S
R
R
R
R
极限状态方程变为
R RSSRS0
(3-23) (3-24) (3-25)
将(3-25)变为标准法线式直线方程
Sco S sR co R s0
式中
cos S
2.2 按几何意义推导
由(3-12)，得
n g
i1 Xi
p*
XiXi* Xi
0
(3-19)
此为超平面方程，均值点P(μX1,μX2,…,μXn) 到超平面的距离d为：
d
n g i1 X i
p*
X
* i
Xi
Xi
1
n
g
i1 X i
Xi
P*
2 2
(3-20)
各变量的方向余弦为：
P*(μX1,μX2,…μXn)到平面的距离为：
d g(X1 ,X2 ,,Xn )
2
n g
i1 Xi
2 Xi
(3-7)
显然，点P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距离d， 就是所求的可靠指标值β，两者是相等的。
可靠区
P*
均值点
极限方程曲面
中心点法
验算点法
4、优缺点
▪ 优点：计算简便。 ▪ 缺点：
cos
X
* i
g X i
P*
Xi
2
n g
i1 X i
P*
Xi
(3-21)
显然，两种方法得到的结果是一致的。
2.3 迭代过程
将(3-8)与(3-18)联立，求得β和各变量值， 再代入到(3-8)和(3-18)，且联立求解，得到新 的一组β和各变量值。
直到满足下式为止，即
nn1
迭代结束，计算完成。
在通常情况下，结构功能函数的一阶矩( 均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为一 次二阶矩法。
一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚 不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求 解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。
该法将功能函数 Zg (x 1 ,x 2 , ,x n)
在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求 解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。
Zg( , X 1 X 2, , X n)i n1 X gi X iX i (3-4)
假定正态变换，即：
Xi
Xi Xi Xi
(3-5)
将(3-5)式代入(3-4)式，得
Zg( , X1 X2, , Xn)i n1 X giXi Xi (3-6)
(3-6)式为一个超平面方程，点
fXi(xi*) 1FXi(xi*)
由(3-24)和(3-25)，得
1
Xi
Xi xi* 1 FXi xi* Xi
Xi
1
FXi
xi*
fXi (xi*)
(3-24) (3-25) (3-26)
将(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)进行迭 代计算，就可求解随机变量非正态分布的可靠 度问题。
显然，JC法通过当量变换，使得非正态分 布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满 足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态 分布随机变量的可靠度问题。
4.2 映射变换法
李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：
设结构中的n个相互独立的随机变量为X1,X2,…,Xn， 其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,…,n)，概率密度函数为 fi(xi)(i=1, 2,…,n)，极限状态方程为
由(3-21)，得
F(xi*)
xi* Xi Xi
fXi(xi*)dd X F i(X ixi*)d xdi*X iXiXi
xi* Xi
Xi
1
Xi
(3-20) (3-21) (3-22)
(3-23)
由(3-22)，得
xi* Xi 1 FXi xi* Xi
将(3-24)代入(3-23)，得
[解]：
R R R 1 0 0 .1 0 2 12
SSS 5 0 .1 5 7 .5
▪ 结构可靠指标
RS 105 003.533
R 2
2 S
1227.52
▪ 结构失效概率
p f () ( 3 .5)3 2 .0 3 7 1 4 8 0
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(3-9)
设
Xi*
Xi Xi Xi
(3-10)
有
g Xi*
X gi X Xi* i
X gi Xi
(3-11)
将(3-11)代入(3-9)，得
g(X1 *,X2 *, ,Xn *)i n1 X gi p* XiXi* Xi 0 (3-12)
2.1 按定义推导
Z的平均值为：
Z E (Z ) g (X 1 * ,X 2 * , ,X n * )i n 1 X g ip * X i E (X i) X i*
法) 4. 映射变换法 5. 实用分析法
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一、基本概念
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
▪ 结构可靠指标为： Z g(X1,X2,,Xn )
Z
n
i1
Xgi
2
X2i
[例题2] 某结构构件正截面强度的功能函数 为Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态分 布，μR=100kNm，δR=0.12；荷载效应S服从极 值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。试用中心点 法求结构失效概率Pf?
s
2 R
2 S
cos R
R
2 R
2 S
R S
2 R
2 S
(3-26) (3-27)
是坐标系OSR中原点 O 到极限状态直 线的距离 O P* (其中P*为垂足)。
在验算点法中， 的计算就转化为求 O P* 的长度。
R R R
两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点
R
O
S
P*(S*,R*)
2、计算方法
结构可靠度计算方法分精确法和近似法 两种。
精确ห้องสมุดไป่ตู้：求解结构的失效概率 pf 的方法， 通常称为全概率法；
近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然 是近似的，但仍属概率法。
3、一次二阶矩法
结构功能函数大多是非线性函数，且非线 性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分 计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠 指标，近似得到结构可靠度的计算方法。
S S S
O
4、非正态分布时
▪ 非正态分布时，可采取以下三种方法：
➢ 当量正态化法（JC法） ➢ 映射变换法 ➢ 实用分析法
▪ JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随 机变量Xi用等效正态分布代替，X i 要求满足 以下2个条件：
➢ 原函数值F(xi*)与当量正态函数值F’(xi*)相等 ➢ 原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值
三、一次二阶矩理论的验算点法
西南交通大学
Southwest Jiaotong University
1、验算点法（JC法）
JC法是Hasofer, Lind, Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。
适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标 的计算。
Zx=g(X1,X2,…,Xn)=0 映射变换
(3-27)
F i(X i) ( Y i)i ( 1 ,2 , ,n )
(3-28)
则
Xi Fi1 Yi
Yi
1 Fi Xi
(3-29)
将(3-29)代入(3-27)，得
Z Y g F 1 1 Y 1 , F 2 1 Y 2 , , F n 1 Y n G ( Y 1 , Y 2 , , Y n ) (3-30)
(3-13)
验算点在极限边界上，即
g (X 1 *,X 2 *, ,X n *)0
又
E(Xi)Xi
(3-14)
将(3-14)代入(3-13)，得
Z
n
i1
g Xi
p*
Xi Xi*
Xi
(3-15)
Z的标准差σZ为：
1
Z
n i1
g Xi
Xi
P*
22
则可靠指标β为：
n g i1 X i
通俗易懂，计算精度又能满足工程实际需要。
国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用， 故称为JC法。
我国《建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)》和 《铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)》中都 规定采用JC法进行结构可靠度计算。
2、推导过程
将P*（X*1,X*2,…,X*n)定义为验算点（设计点），故 称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，
f’(xi*)相等
f Xi (xi )
等效正态分布 F’Xi(xi*),f’Xi(xi*)
原分布 FXi(xi*),fXi(xi*)
O
x
* i
xi
JC法的等效正态分布图
4.1 当量正态化法-JC法
条件(1)和(2)的数学表达式为
由(3-20)，得
FXi (xi*) FXi (xi*) fXi (xi*) fXi (xi*)
(3-1)
ZL平均值和方差为：
ZL
E(ZL)g(X1,X2,,Xn
n
)
i1
Xgi
n i1
E(Xi)Xi
g(X1,X2,,Xn)
2 ZL
EZL EZL
2
n i1
Xgi
2
X2i
(3-2)
结构可靠指标为
ZL g X1,X2,,Xn
ZL
n
i1
Xgi
2
X2i
(3-3)
3、几何意义
可靠指标β的几何意义是什么？证明如下 功能函数泰勒级数展开至一次项，即