新编地图学教程
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陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的 起算点——大地原点。
ICA-75椭球参数
a = 6 378 140m
新编地图学教程 第二章
b = 6 356 755m
地图的数学基础
f =1/298.257
宿州学院地理与环境科学系
2.中国的大地控制网
由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全 国各地。
新编地图学教程
电 子 教 案
第 2 章
地图的数学基础
第 2 章
§ § § § § § § § § 1 2 3 4 5 6 7 8 9
地图的数学基础
地球体 地球坐标系与大地定位 地图投影的基本知识 地图投影的分类 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 其它投影 地图投影的辨认和选择
第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近__大地体：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺 少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制 图业务中，均把地球当作正球体。
3. 实质是重力等Fra Baidu bibliotek面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面 的高度）。
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§1 地球体
1.1 地球的自然表面
浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。
—— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
1.2
地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂 线）成正交，这个面叫水准面。 大地水准面:假定海水静止不动,将海水面无限延伸,穿出大 陆包围地球的球体。 它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。 大地体:大地水准面包围的形体。
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是
以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、 实时动态定位、定时及导航服务。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上 某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点 组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为一 等三角锁、二等三角网、三等三角网、四等三角网四等。 三角测量：在全国范围内将控制点组成一系列的三角形， 通过测定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。 导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这 些折线的边长和转角，最后根据起算点的坐标和方位角推 算其他各点坐标。包括闭合导线、附合导线、支导线。 布设原则：由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。 它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系 统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网 与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真 实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影 后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们 分析一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
1.3
地球的数学表面
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这 个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。
它是一个规则的 数学表面，所以人 们视其为地球体的 数学表面，也是对 地球形体的二级逼 近，用于测量计算 的基准面。
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North Pole
Polar Axis
b a
Equatorial Axis
Equator
a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137
South Pole
— = 298.257 f
新编地图学教程 第二章
1
对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
等级
一等三角锁
边长
20~25km
分布密度
锁与锁间距200km
分布方向
沿经纬线分布
二等三角网
三等三角网
13km
8km
150km2有一控制点（1：10万，1：5 万》3点）
50km2有一控制点（1：5万2~3点）
在一等加密
在二等加密
四等三角网
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
3.2 地图投影的定义
地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物 表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函 数关系的数学方法。 地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一 定的数学法则转移到平面上。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
GPS系统的组成部分:
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们 在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球 上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近—— 参考椭球体。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处 理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用 户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路 点的距离和航向或提供图示。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
§ 3
地图投影的基本知识
地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成 地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。 地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平 面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图 投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史， 研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独 立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、 最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律， 从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。
4km
20km2有一控制点（1：1万~2点）
第二章 地图的数学基础
在三等加密
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宿州学院地理与环境科学系
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以 水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
水青 准岛 原观 点象 山
中国高程起算面是黄海平均海水面。
1956年在青岛观象山设立了水准原点（72.289m)，其他各控 制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
新编地图学教程
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
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第二章
2.1
地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
天文经纬度
大地经纬度
地心经纬度
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两 面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
3.1地图表面和地球球面的矛盾
地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时 首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直 接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是 沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
2.2
中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系
中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前 苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理 学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾 阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算 点。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
§2
地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研 究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面 坐标系统的建立。
1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《 黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》上升29毫米。 （72.260m)
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。
相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。 高差：某两点的高程之差。
ICA-75椭球参数
a = 6 378 140m
新编地图学教程 第二章
b = 6 356 755m
地图的数学基础
f =1/298.257
宿州学院地理与环境科学系
2.中国的大地控制网
由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全 国各地。
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电 子 教 案
第 2 章
地图的数学基础
第 2 章
§ § § § § § § § § 1 2 3 4 5 6 7 8 9
地图的数学基础
地球体 地球坐标系与大地定位 地图投影的基本知识 地图投影的分类 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 其它投影 地图投影的辨认和选择
第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
椭球体三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近__大地体：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺 少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制 图业务中，均把地球当作正球体。
3. 实质是重力等Fra Baidu bibliotek面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面 的高度）。
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§1 地球体
1.1 地球的自然表面
浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。
—— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
1.2
地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂 线）成正交，这个面叫水准面。 大地水准面:假定海水静止不动,将海水面无限延伸,穿出大 陆包围地球的球体。 它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。 大地体:大地水准面包围的形体。
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是
以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、 实时动态定位、定时及导航服务。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上 某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点 组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为一 等三角锁、二等三角网、三等三角网、四等三角网四等。 三角测量：在全国范围内将控制点组成一系列的三角形， 通过测定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。 导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这 些折线的边长和转角，最后根据起算点的坐标和方位角推 算其他各点坐标。包括闭合导线、附合导线、支导线。 布设原则：由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。 它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系 统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
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第二章
地图的数学基础
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新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网 与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真 实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影 后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们 分析一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
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1.3
地球的数学表面
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这 个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。
它是一个规则的 数学表面，所以人 们视其为地球体的 数学表面，也是对 地球形体的二级逼 近，用于测量计算 的基准面。
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North Pole
Polar Axis
b a
Equatorial Axis
Equator
a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137
South Pole
— = 298.257 f
新编地图学教程 第二章
1
对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
等级
一等三角锁
边长
20~25km
分布密度
锁与锁间距200km
分布方向
沿经纬线分布
二等三角网
三等三角网
13km
8km
150km2有一控制点（1：10万，1：5 万》3点）
50km2有一控制点（1：5万2~3点）
在一等加密
在二等加密
四等三角网
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
3.2 地图投影的定义
地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物 表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函 数关系的数学方法。 地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一 定的数学法则转移到平面上。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
GPS系统的组成部分:
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们 在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球 上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近—— 参考椭球体。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处 理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用 户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路 点的距离和航向或提供图示。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
§ 3
地图投影的基本知识
地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成 地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。 地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平 面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图 投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史， 研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独 立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、 最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律， 从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。
4km
20km2有一控制点（1：1万~2点）
第二章 地图的数学基础
在三等加密
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宿州学院地理与环境科学系
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以 水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
水青 准岛 原观 点象 山
中国高程起算面是黄海平均海水面。
1956年在青岛观象山设立了水准原点（72.289m)，其他各控 制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
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地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
国家测绘局
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第二章
地图的数学基础
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国家测绘局
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地图的数学基础
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国家测绘局
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2.1
地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
天文经纬度
大地经纬度
地心经纬度
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① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两 面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
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② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
3.1地图表面和地球球面的矛盾
地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时 首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直 接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是 沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。
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2.2
中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系
中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前 苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理 学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾 阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算 点。
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第二章
地图的数学基础
宿州学院地理与环境科学系
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。
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§2
地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研 究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面 坐标系统的建立。
1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《 黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》上升29毫米。 （72.260m)
新编地图学教程 第二章 地图的数学基础 宿州学院地理与环境科学系
绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。
相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。 高差：某两点的高程之差。