对面积的曲面积分

第四节 对面积的曲面积分

4.1

学习目标

了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积

分求一些几何量与物理量 .

4.2 内容提要

1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面

上有界，将曲面

任意分成n 小块 s ( S i

也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , i

s i ，记各小曲面直径的最大值为

，如果对曲

i 1

面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则

称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面

上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记

n

f(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •

【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此， S i 0 .

2•性质

f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;

1 2

②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面

的面积S ，即

f (x, y, z)dS S .

3.对面积的曲面积分的计算 在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在

①关于曲面具有可加性，若

1

2，且1与2没有公共的内点，则

设曲面 由z z x, y 给出,

D xy 上具有连续偏导数，被积函数

f (x, y,z)在 上连续，则

f (x, y,z)dS

f(x, y,z(x,y)h 1 dxdy

同样地

D

xy

:x x y,z

f (x, y, z)dS

D yz

x y,z , y,z dydz ,

2

4•对面积的曲面积分的应用

①曲面的质量

x, y, z dS .

4.3 典型例题与方法

基本题型I :计算对面积的曲面积分

1

128

故应填~3 *

选择题

2

a (z

o ),

1

为 在第一卦限中的部分，则有( )

:y y z,x

f(x,y,z)dS

f x, y z,x ,z

D xz

2

y 1 y

x

dzdx .

设曲面

上任意一点

x, y, z 处的面密度是 x, y, z

②曲面的质心 x,y,z

x,y,z dS,

x,y,z dS

z x, y, z dS

③曲面的转动惯量

2

y

I x

x,y,z dS

I y

x, y, z dS ,

I z

x,y,z dS ,

I o

x, y,z dS .

填空题

2 2 2 / 2

:x y z 4，则 o (x

2

y )dS

而积分在

由积分区域的对称性知

上进行,

x 2 2 2

乙x dS

y dS ?

2 2

2 2 乙X y )dS - (x

z 2 4，代入上式得,

z 2dS

z 2)dS .

(A ) xdS 4 xdS

； (B )

1

ydS 4 xdS .

;

(C )

zdS

4 xdS

; ( D )

1

xyzdS 4 xyzdS

1

解因为曲面是上半球面，

yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ，

f 2(x, y, z) xyz 都是变量x 的奇函数，于是

xdS xyzdS 0

.类似地， 关于xoz

1

(、2 1) (x 2

D

y 2)dxdy

(1

例5计算

z 2dS ，其中

为x 2

4

介于z 0,z 6之间的部分.

面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 ydS 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,

1 1

故应选(C ).事实上，由对称性，

zdS 4

zdS , zdS xdS , (0正确.

1 1 1

【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，

被积函数关于相应变量具有 奇偶性，两者缺一不可.

(2)

利用积分曲面 的方程化简被积函数.

例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中 是平面2x 2y z 2 0被三个坐标

面所截下的在第一卦限的部分

D : 0 x 1,0 y

2

z

y dxdy*'2dxdy ,

图4-1

解法

2x 2y,Z x

2,

Z y 2. 在xoy 平面上的投影是三角形，记为

(2x 2y z)ds

2g. 1 z x 2 Z y 2dxdy

D

6dxdy 3.

解法

(2x 2y z)ds 2dS 2g^^2

22 3 .

【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .

例 4 计算 I (x 2 y 2)dS ,

因为积分曲面是一个三角

为立体x 2 y 2 z

1的边界.

【分析】］根据积分曲面 的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.

确定投影区域，计算曲面面积微元

dS ，将曲面积

1为锥面

z

X 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,

1部分，在

2上，

dS dxdy ,

在xOy 面的投影区域为D : x

1，所以

2 2 2

I (x y )dS + (x

1

)dS