北师大版七年级数学下册-第二章相交线与平行线同步串讲
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1.
2. 3. 4.
定义：有公共顶点，且两边互为反向延长线 的两个角叫做对顶角。 性质：对顶角相等。 对顶角指的是两个角：一看顶点；二看边。 两条直线相交，形成两对对顶角。
【例2】三条直线相交于同一点，则 ∠1+2∠+∠3=（ ）
2
（
1
）
3
【练习】
观察下图中的各组角是不是对顶角？
1
1
2
(A)
(B)
第二章 相交线与平行线
七年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
第一单元：两条直线的位置关系
一．相交线和平行线的概念
1.
2. 3. 4.
5. 6.
相交线的定义：若两条直线只有一个公共点， 我们称这两条直线为相交线。 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两 条直线叫平行线。 相交线的性质：两直线相交，只有一个交点。 平行线指的是两条直线，而不是线段或射线。 若说两条线段平行，则指的是两条线段所在 的直线平行。 不相交：就是说两条直线没有公共点。 n条直线两两相交，最多有 n(n-1) 个交点。 2
1. 2. 3. 余角的性质：同角或等角的余角相等。 补角的性质：同角或等角的补角相等。 每个性质包含了两个两个“不同的性质”。 同角和等角符号语言中的条件是不同的。 举例：符号语言叙述“四个”性质。
（同角） （等角）
4.
∵∠B是∠A的补角；∠C是∠A 的补角。∴∠B＝∠C ∵∠A=∠B，∠C是∠A的补角，∠D是∠B的补角∴∠C=∠D
2
1 (C)
2
1 (D)
2
三．补角、余角的概念
1. 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两 个角互为补角。（互为：成双成对） 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个 角互为余角。 （互为：成双成对） 互补（或互余）是针对两个角而言的，是成对 出现的，其中一个角叫做另一个角的补角（或 余角）。不能单独说一个角是补（余）角。 互补（或互余）仅表明数量关系，没有限制角 的位置关系。但确有数形双补（余）的角。 角A的补角表示为180°-A,余角表示为90°-A
2. 3. 4.
【例7】在平面内，下列语句错误的是（
）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B. 垂直于已知线段，并且经过这条线段中点的 线段只有一条。 C. 垂直于已知直线的垂线只有一条。 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。
【练习】一汽车在笔直的公路上由A向B行驶， M、N为位于公里两侧的两所学校，当汽车 行驶到何处时，对两所学校的影响最大， 在图点标出来。
【例1】平面内两两相交的六条直线，其交点 最多为几个？
【练习】下列说法正确的有（ C ）
①在同一平面内的两条线段如果不相交，那么这 两条线段一定平行。②两条线段平行是指它 们所在的直线平行。③在同一平面内，两条 直线不可能既不平行也不相交。 A. 1个 B. 0个 C. 2个 D. 3个
二．对顶角的概念和性质
C
） ） ） ） ）
A
D
B
九．小结
平行
角：对顶角；余角，补角。
平面内两直 线位置关系
相交
垂线
概念及表示 画法 性质 点到直线的距离
【典例1】如果一个锐角的补角比这个角的余 角的2倍还多40°，那么这个角的余角是多 少度？
2.
3.
4.
【பைடு நூலகம்5】
① A、D、B三点在同一直线上，若∠ACB=90° ∠ADC=∠BDC，写出图中互相垂直的线段， 并说明理由。 ① 直线AB、CD、EF，都相交于点O，AB⊥CD， ∠EOD=130°，求∠BOF、∠AOF的度数。
C C A A D B D F E ┓
B
六．垂线的画法
1. 2. 3. 4. 利用三角尺两条直角边或刻度线与所在边的 垂直关系画垂线。 利用直尺在方格纸上画垂线。 利用折叠法画垂线 注意：
【例4】
① 直线AB、CD、EF相交于O点，且 ∠AOD=90°∠1=40°，求∠2的度数。 ② A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC ∠AOB+∠DOE＝90°，说明：∠COD＝ ∠DOE
E C
（
D A O ） 2 B E O
1
B
C
D
F
A
五．垂线的概念和表示
1. 概念：两条直线相交成四个角，如果有一个 角是直角，那么称这两条直线互相垂直。其 中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 表示：两条直线垂直，它们的交点叫垂足， 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 给出两条直线垂直时，通常要指出垂足。如 图的两直线垂直可记为： C f AB⊥CD垂足为O ┓ A B 或m⊥f 垂足为O m D 读法：略。
· M
A · N
B
八．点到直线的距离
1.
2. 3.
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度叫做点到直线的距离。 距离是一个数量；垂线段是一个图形。二者 不能混为一谈。 常见错误：“作出点到直线的距离”就是错 误的表述。
【例8】∠ACB＝∠BDC=90°则：
① ② ③ ④ ⑤ 点A到直线BC的距离是（ 点A到直线CD的距离是（ 点B到直线AC的距离是（ 点B到直线CD的距离是（ 点C到直线AB的距离是（
① ② ③ 画线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线 过线段外一点画线段的垂线，垂足可以在线段上， 也可以在线段的延长线上。 利用三角尺画垂线：一靠二过三画。靠线过点画 线。
【例5】已知线段AB，分别过P、Q点画AB 的垂线m和f,并用符号语言表示其中的垂直 关系。
Q
A
P
B
七．垂线的性质
1. 垂线段与斜线段：过直线外一点作直线的垂 线，这点到垂足的线段，叫做点到直线的垂 线段。这点到直线上其它点（不是垂足）之 间的线段叫点到直线的斜线段。 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最段。 “有且只有”：两层含义。有：存在性；只 有：唯一性（或数量）。
2.
3.
4. 5.
【例3】
① 一个角的补角等于这个角的余角的6倍,求这 个角的度数. ② 点E、O、A在同一条直线上，∠AOB= ∠COD=90°，图中与∠AOD互补的角为 （ ）。写出一对互为余角的 角是（ ） ③ 举例说明数形双补和数形双余的角（邻补角、 邻余角）。
D E B C O A
四．余角和补角的性质
2. 3. 4.
定义：有公共顶点，且两边互为反向延长线 的两个角叫做对顶角。 性质：对顶角相等。 对顶角指的是两个角：一看顶点；二看边。 两条直线相交，形成两对对顶角。
【例2】三条直线相交于同一点，则 ∠1+2∠+∠3=（ ）
2
（
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）
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【练习】
观察下图中的各组角是不是对顶角？
1
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2
(A)
(B)
第二章 相交线与平行线
七年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
第一单元：两条直线的位置关系
一．相交线和平行线的概念
1.
2. 3. 4.
5. 6.
相交线的定义：若两条直线只有一个公共点， 我们称这两条直线为相交线。 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两 条直线叫平行线。 相交线的性质：两直线相交，只有一个交点。 平行线指的是两条直线，而不是线段或射线。 若说两条线段平行，则指的是两条线段所在 的直线平行。 不相交：就是说两条直线没有公共点。 n条直线两两相交，最多有 n(n-1) 个交点。 2
1. 2. 3. 余角的性质：同角或等角的余角相等。 补角的性质：同角或等角的补角相等。 每个性质包含了两个两个“不同的性质”。 同角和等角符号语言中的条件是不同的。 举例：符号语言叙述“四个”性质。
（同角） （等角）
4.
∵∠B是∠A的补角；∠C是∠A 的补角。∴∠B＝∠C ∵∠A=∠B，∠C是∠A的补角，∠D是∠B的补角∴∠C=∠D
2
1 (C)
2
1 (D)
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三．补角、余角的概念
1. 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两 个角互为补角。（互为：成双成对） 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个 角互为余角。 （互为：成双成对） 互补（或互余）是针对两个角而言的，是成对 出现的，其中一个角叫做另一个角的补角（或 余角）。不能单独说一个角是补（余）角。 互补（或互余）仅表明数量关系，没有限制角 的位置关系。但确有数形双补（余）的角。 角A的补角表示为180°-A,余角表示为90°-A
2. 3. 4.
【例7】在平面内，下列语句错误的是（
）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B. 垂直于已知线段，并且经过这条线段中点的 线段只有一条。 C. 垂直于已知直线的垂线只有一条。 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。
【练习】一汽车在笔直的公路上由A向B行驶， M、N为位于公里两侧的两所学校，当汽车 行驶到何处时，对两所学校的影响最大， 在图点标出来。
【例1】平面内两两相交的六条直线，其交点 最多为几个？
【练习】下列说法正确的有（ C ）
①在同一平面内的两条线段如果不相交，那么这 两条线段一定平行。②两条线段平行是指它 们所在的直线平行。③在同一平面内，两条 直线不可能既不平行也不相交。 A. 1个 B. 0个 C. 2个 D. 3个
二．对顶角的概念和性质
C
） ） ） ） ）
A
D
B
九．小结
平行
角：对顶角；余角，补角。
平面内两直 线位置关系
相交
垂线
概念及表示 画法 性质 点到直线的距离
【典例1】如果一个锐角的补角比这个角的余 角的2倍还多40°，那么这个角的余角是多 少度？
2.
3.
4.
【பைடு நூலகம்5】
① A、D、B三点在同一直线上，若∠ACB=90° ∠ADC=∠BDC，写出图中互相垂直的线段， 并说明理由。 ① 直线AB、CD、EF，都相交于点O，AB⊥CD， ∠EOD=130°，求∠BOF、∠AOF的度数。
C C A A D B D F E ┓
B
六．垂线的画法
1. 2. 3. 4. 利用三角尺两条直角边或刻度线与所在边的 垂直关系画垂线。 利用直尺在方格纸上画垂线。 利用折叠法画垂线 注意：
【例4】
① 直线AB、CD、EF相交于O点，且 ∠AOD=90°∠1=40°，求∠2的度数。 ② A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC ∠AOB+∠DOE＝90°，说明：∠COD＝ ∠DOE
E C
（
D A O ） 2 B E O
1
B
C
D
F
A
五．垂线的概念和表示
1. 概念：两条直线相交成四个角，如果有一个 角是直角，那么称这两条直线互相垂直。其 中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 表示：两条直线垂直，它们的交点叫垂足， 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 给出两条直线垂直时，通常要指出垂足。如 图的两直线垂直可记为： C f AB⊥CD垂足为O ┓ A B 或m⊥f 垂足为O m D 读法：略。
· M
A · N
B
八．点到直线的距离
1.
2. 3.
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度叫做点到直线的距离。 距离是一个数量；垂线段是一个图形。二者 不能混为一谈。 常见错误：“作出点到直线的距离”就是错 误的表述。
【例8】∠ACB＝∠BDC=90°则：
① ② ③ ④ ⑤ 点A到直线BC的距离是（ 点A到直线CD的距离是（ 点B到直线AC的距离是（ 点B到直线CD的距离是（ 点C到直线AB的距离是（
① ② ③ 画线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线 过线段外一点画线段的垂线，垂足可以在线段上， 也可以在线段的延长线上。 利用三角尺画垂线：一靠二过三画。靠线过点画 线。
【例5】已知线段AB，分别过P、Q点画AB 的垂线m和f,并用符号语言表示其中的垂直 关系。
Q
A
P
B
七．垂线的性质
1. 垂线段与斜线段：过直线外一点作直线的垂 线，这点到垂足的线段，叫做点到直线的垂 线段。这点到直线上其它点（不是垂足）之 间的线段叫点到直线的斜线段。 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最段。 “有且只有”：两层含义。有：存在性；只 有：唯一性（或数量）。
2.
3.
4. 5.
【例3】
① 一个角的补角等于这个角的余角的6倍,求这 个角的度数. ② 点E、O、A在同一条直线上，∠AOB= ∠COD=90°，图中与∠AOD互补的角为 （ ）。写出一对互为余角的 角是（ ） ③ 举例说明数形双补和数形双余的角（邻补角、 邻余角）。
D E B C O A
四．余角和补角的性质