分数傅里叶变换
分数傅里叶变换
分数傅里叶定义:
分数傅里叶变换 的物理意义即做傅里叶变换
.次，其中
不一定要为整数（比傅里叶变换
更加广泛）；通过分数傅里叶变换 之后，图像或信号便会同时拥有
时域与频域两者的特征。
1.1 （维基百科） 第一种定义：
第二种定义:
1.2
从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式:
A. C. Me bride 和F. H Ken ■在1987不给出了 V Narnia s 的分数傅里叶变换 的枳井形式［讥 具体地
说，对信号空间￡"用）中的任何信号/（/），它的分数 傅里叶变换（时"卩）可以写成积分形式
0/）2） = ￡/⑴ *（卩；叮）由
（2-5）
其积分核是
r
町）exp
斤（p ;以）=*
公式中各记号的含义是
式中小整数.p ?分数傅里叶变换的级次’可取任何实数.
Wigner 分布函数相空间定义的分数傅立叶变换
A.W.Lohmann 在1993年利用傅里叶变换相当于在 Wigner 分布函数相空间中角度为 n 12的旋转这一
性质，说明分数傅里叶变换在 Wigner 分布函数空间中相当于角度是 p n 12的 旋转，这里，p 是分数傅里
叶变换的级次。
伙I 此* AAVLohmaiin ?义杲次是p 的分数傅里叶变换（产丁）（列为
It ?中，矩阵眉/）疑时 频相平面x-r l.ffi 度为（pn/2）的旋转矩阵
X 申(it)=
1 —
jcot (/>
2?r
| i(^cota-2v/csc(a >4- r cot ( al) | p
2/i
(2-6)
(2-7)
砒）= Z
cos
u J
win
I < 2
厂1沖i.J
a =
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幕次p从0连续增长
到达1时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幕次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）频描述和分析工具
分数傅里叶的分类：
1.一维分数傅里叶变换
分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式，1?积分形式
2级数表达式形式
其中
2?二维分数傅里叶变换
其中C为相应常系数。当a=b时，上式就是二维分数傅里叶变换的表
达式；当a=b=1时,上式转化为常规二维傅里叶变换；当a与b不相等时,我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y方向实施的变换级次是不同
的。
分数傅里叶变换的性质
1周期性：（k为整数）
fz（?）=严皿［/⑴］=严［/（上）］=￡ （“）
2线性：（c1和c2是复常数）
严［"（鼻）+ /（工）］之严|7@）］+伞严（切=岭￡（町+勺叭（町
3阶数可加性:
M 是实数’ .FL M 不为零和无穷* G =冲/2 * a f
- arctan tan a)
// = 2(// 7T 5时移特性：
尸尸 f[x-b}^ = exp (inb~ sin a cos a } exp (-inub% in a )
(z/ - i cos a :
6频移特性：
F* exp (ilrrbx} f( x)^j = exp I -ilrrlr sin a cos a?)* exp | -ilTtiib cos a) /；」"一力sin a)
7可逆性：
对一个函数进行 P 级分数傅里叶变换后，接着进行- P 级的分数傅里叶变换，
则可得到原函数：
严｛严”（町｝｝二网｛/（JC ）｝=/W
分数傅里叶变换的数值算法
严二￡%（p ）w‘
（1）基于傅立叶变换矩阵因子幕的离散化算法，利
来
计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用 FFT 来计算离散分 数傅立叶。其中W 是离散傅立叶变换核矩阵
（2）基于正交投影的离散化算法，对连续分数傅立叶变换的特征函数 进行离散化近似和正交投影，得到一组与 Hermite-Gaussian 函数形状 相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散
Hermite 特征向量。然后，
r / 八 exp inir cot a q cos a 1 2
( cos" a j
4尺度变换特性:
l-/cot a
Y1- iM 2 cot a
仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅 立叶变换矩阵
（3）基于chirp 分解的离散化算法。根据分数傅立叶变换的表达式， 将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后， 直接离散化，利用FFT
来计算分数傅立叶变换。 2.2.1基于傅立叶变换矩阵
1基于chirp 分解的离散化算法 （FRFT.m 和frft22d.m ）
对应的分数傅里叶函数：
F a
f^n^= cj
cot — ^ijnixcsc
1）输入信号f （x ）与啁啾信号相乘（j 将两个信号分别离散化）；
2） 进行FT 运算；
3） 进行尺度变换，系数为esc ? ; 4） 再与啁啾信号相乘； 5） 最后与常数位相相乘。
2基于正交投影的离散化算法（Disfrft.m 和cdpei.m ） 其计算过程如下：
（1） 计算矩阵S 的正交特征向尼叽Q
（2） II'算连绒:Hermite*Gaussian 歯数的取样向気血仏）
⑶将4（旬进行乎移得到耳
dwN — \
当N 为偶数
当N 为帝数
火―N)
(2-38)
-
丸仏）
P-39)
1 ￡ X V- 1
（4）石仏）投影到叫⑷空间得到瓦（依）
兀仏2 S 〈兀⑷匕仏）”"）P-40）
|>-jh mnd4"D
（5）对恳也）进行正立归一代得到叫仏）?可比采用了两种不同正交映射的方法，并根捌采用的正交化方法不同而分别命名OPA方法和GSA方法.
（6）再由暫甘）构造U
"彳讪I …|"产J 叫T；VmQg] （2-41）<7）构造少
(2-42)
尸3-2]
A'- A rnod? I
（8）最后由和U得到离散分数傅立叶变换矩阵尸户
=UD（,U r（2-43）离散分数傅立叶算子尸尸无论p为任恿实数，均满足特征方程（2-27）.井且满足阶数可加性尸尸戸=严。
信号』（左）的离散分数傅立叶变换兀仗）通过如I：公式计算：
（2-44）
与连绩的分数傅立叶变换相似，信号”約也可￡通过我逆变换恢复：x（k}=K f，X^}（2-
45）
基于正交投影的离散化算法对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite 特征向量。然后，仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶
变换矩阵。此算法适合用来计算连续的分数傅里叶变换。
基于chirp分解的离散化算法，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT来计算分数傅立叶变换。
图像的分数傅里叶变换
对图像进行分数傅里叶变换分析的目的是确定图像经过分数傅里叶变换后的特性表现，主要包含分数傅里叶变换对图像能量分布和频率分布影响两方面的内容。其中能量分布表现
分数傅里叶变换图像的能量聚积性与分数变换阶数的关系，能量聚集性强烈地依赖于其接近
于傅里叶变换的程度；频率分布表现在分数傅里叶变换的相位函数包含了图像的纹理频率信息，变换阶数不同，相位函数所含的图像边缘高频信息也不相同。
图像经过某种二维离散变换之后的能量分布体现了图像的变换特征。图像分数傅里叶变
换域的能量分布特点是：能量向中心区域聚集性。
(1)当分数阶次p由小变大时，由相位函数恢复的图像呈现出图像边缘轮廓变得越来越
清晰，这类似于原始图像经历了不同截止频率的高通滤波器。当p较小时对应于截止频率较
低的高通滤波器，低频成份浮现出来，图像边缘模糊；当p较大时，对应于截止频率较高的
高通滤波器，大部分低频成份被滤掉，图像边缘比较清晰，FRFT逐渐向FT退化。
(2)当变换阶数p由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这
类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p较小时，对应于截止频率较高的低通滤
波器，高频分量残留较多，能清晰看到原图像的轮廓；p较大时，对应于截止频率较低的低
通滤波器，大部分高频分量被滤出只显现原图像背景。
(3)当变换阶数p为其它值时，由FRFT相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景信息又包含了原图像的纹理频率信息。由此可以推论这类似于原图像经历了
FRFT的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同(阶数不同)时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤
波器输出的频率成分也不同。这表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变化。
当变换阶数较小时，由图像的FRFT的幅度函数和相位函数恢复的图像都显示出很强的图像信息，体现出了较强的空域特性；当变换阶数逐渐增大时，图像的FRFT的幅度函数恢复的图像所包含的原图像的空域特征逐渐减弱直至消失，相位函数恢复的图像包含原图像的
边缘纹理特征逐渐增强。当FRFT的变换阶数增大到一定程度时，其幅度和相位特征越来越
接近FT域即频域特征。这些结论有力地体现了FRFT域的空-频双域特征。
采用分数傅立叶变换的图像边缘提取方法
对图像作连续小级数的分数傅立叶变换，相当于对图像作连续的微小变换，当分数级次
很小时，肉眼几乎看不出与原图的区别，当级次略有增加，图像边缘与原图有了明显的区别，当继续缓慢增加分数级次时，图像与原图明显不同。通过分析可以看出，图像中对比度低的
区域随级次变化缓慢，对比度高的区域(即图像边缘)随级数变化快。由此，取不同级数的分数傅立叶变换后的图像减去原图像，即可得到图像的边缘。不同的分数级数对应不同的形
变，选取不同级数变换后的图像相减，即可提取不同尺度的边缘。
图像分数阶Fourier变换的幅度和相位信息
假设F(k,h )是二维图像f(x, y)的二维Fourier 变换F (k,h )= FT2D f (x, y ) ( 8)我们可以把F k,h分解成幅度部分和相位部分，即
F (k,h )=F (k,h j_|P(k,h ) = A(k,h )?P(k,h )
A k,h二F k,h为幅度函数，P k,h二F k,hjAk,h为相位函数,
结论：(9)
其中
1.当变换阶数P由小变大时，仅由相位函数恢复的图像，显现原图像的边缘越来越清晰，
这类似于原图像经历了不同截止频率的高通滤波器。p较小时(0.01)对应于截止频率较低的高
通滤波器，低频成份浮现出来，使提取的边缘模糊，如图4(b)所示；p较大时(0.8)，对应于
截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤出，提取的边缘较清晰，如图5(d)所示，此时FRFT基本退化为FT。
2.同理,当变换阶数P由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，
这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p较小时(0.01)，对应于截止频率较高的
低通滤波器，高频分量残留较多，还能清晰看到原图像的轮廓，如图4(a)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频分量被滤出，此时仅显现原图像的背景，如
图6(c)所示。
3.当变换阶数P为其它任意值时，由FEFT相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了
原图像的背景又包含了原图像的纹理，如图4(b)、图4( c)、图5( a)、图5( b)所示。针
对这种情况，我们可以推论这类似于原图像经历了FRFT的时频滤波，也即将时频平面旋转
某一角度后再进行滤波。假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同(阶数不
同)时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变。
分数傅里叶变换(采用chirp信号的方法)a从0.1-1过程中，相应的分数傅里叶变换。从图中可以发现，两个区域信息的相互转换。
相应的幅值信息(a从0.1-1)
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里
叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭
傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题 由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。 第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即 ()∞
吉布斯现象： 当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题 假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有 ()()∑∞-∞=-= r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。于是()n x ~ 与()n x 的关系表示为： ()()()N n x n x =~ ()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有： ()()kn N N n W k X N n x --=?=∑10~~ 1 ()()kn N N n W n x k X ?=∑-=10~ ~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~ =()n x ，因此可以得到： ()()kn N N n W n x k X ∑-==10~， 10-≤≤N k ()()kn N N n W k X N n x --=∑=10~1， 10-≤≤N n 表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系： ()()()N k X k X =~
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换 分数傅里叶定义： 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。 1.1（维基百科） 第一种定义: 第二种定义： 1.2 从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式： Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换 A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具 分数傅里叶的分类： 1.一维分数傅里叶变换 分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式, 1.积分形式 2级数表达式形式 其中 2.二维分数傅里叶变换 其中C为相应常系数。当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表 达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。 分数傅里叶变换的性质 1周期性：（k为整数） 2线性：（c1和c2是复常数）
基于分数阶Fourier变换的图像加密算法
Electronic Component & Device Applications 姨 ·exp(j (s 2+u 2)2tan α-jsu sin α )exp(j (t 2+v 2 )2tan β -jtv sin β ) (1) 其中，α＝p 1π/2，β=p 2π/2，表示信号通过二维傅里叶变换后的旋转角度。应用二维傅里叶变换核K p1,p2(s ,t ,u ,v )，在变换阶数p 1和p 2给定的情况下，信号f (s ,t )的二维分数阶傅里叶变换定义为： F p1,p2(u ,v )= ∞-∞ 乙∞ -∞ 乙f (s ,t )K p1,p2 (s ,t ,u ,v )dsdt (2) 因为二维分数阶傅里叶变换核是可分离的， 即： K p1,p2(s ,t ,u ,v )=K p1(s ,u )×K p2(t ,v ) (3) 二维离散分数阶傅里叶变换和逆变换定义 为： X p1,p2(m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 Σx (p ,q )K p1,p2(p ,q ,m ,n ) (4)x (m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 ΣX p1,p2(m ,n )K -p1,-p2(p ,q ,m ,n ) (5) 收稿日期：2010-09-21 基于分数阶Fourier 变换的图像加密算法 尚宇雄，尚 宇 (西安工业大学电子信息工程学院，陕西 西安 710032) 摘 要：针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足，设计了一种基于分 数阶傅里叶变换和混沌系统的图像加密新算法。该方案的安全性依赖于随机混沌图像、分数阶傅里叶变换阶数以及混沌系统的初始参数。理论分析和模拟实验结果表明该方案具有良好的图像加密效果。 关键词：分数阶Fourier 变换；混沌置乱；图像加密 doi:10.3969/j.issn.1563-4795.2011.03.017 52
傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？
分数傅里叶变换产生分数泰伯效应
*国家自然科学基金资助项目。收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷 第2期 中 国 激 光V o l.A24,N o.2 1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997 分数傅里叶变换产生分数泰伯效应* 华建文 刘立人 (中国科学院上海光机所 上海201800) 提要 讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学 条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。这种双重变换有助于光 学系统的设计、分析和计算。最后给出了应用实例。 关键词 光学变换,傅里叶变换,泰伯效应 1 引 言 分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。后来由McBride 和Kerr [2] 把它发展成一个较为完整的数学理论。它是傅里叶变换的全族。后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。文献[6～11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。这两种过程同时发生有一定的实用意义。利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。而且还能满足观察不同大小物体的要求。2 分数泰伯效应和分数傅里叶变换 泰伯效应是一相干波照明一光栅,在自由空间中距光栅的某些特定的平面上能出现一些准确泰伯像和更多的分数泰伯像[13]。一块周期为T ,开口比为h 的朗奇光栅可用下式描述 g (x ,y )=rect(x /h )* n W (x -n T )(1)符号“*”表示卷积。用单色平面波照明光栅,其菲涅耳衍射场在光栅后方自由空间中传播,在离光栅距离为Z 的平面上,光强分布为[13]
常用傅立叶变换表
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这
9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式
18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到.
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论 在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法，其MATLAB 计算程序可在https://www.360docs.net/doc/d98586652.html,.tr/~haldun/fracF.m 上查到。现在 基于该程序，对一方波进行计算仿真。?????<=其它 ,01,1)(t t x 注：网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁，据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到，Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处，而两个程序的计算结果基本相符。本文使用较为简洁的计算程序，Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。 程序如下： clear clc %构造方波?????<=其它 ,01 ,1)(t t x dt=0.05; T=20; t=-T:dt:T; n=length(t); m=1; for k=1:n; % tt=-36+k; tt=-T+k*dt; if tt>=-m && tt<=m x(k)=1; else
傅里叶Fourier级数的指数形式与傅里叶变换
(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换复习过程
傅里叶(F o u r i e r)级数的指数形式与傅里 叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就 可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ，
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇 本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明) 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 ＄关于三角函数系得正交性: 三角函数系包括: 1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, …… “正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。 不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。 同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、 三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。 ＄
上公式！ ①当周期为2π时: 式(１): 上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件: １。在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点; ２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得) 式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即
ｆ(x)左右极限得算术平均。下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。 第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。 ②当周期为2L时(这也就是最一般得情形): 式(2): 第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值; 第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。 $ 傅里叶级数得复数表达方式
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、 DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /********************************************************** *****************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /********************************************************** ****************************************/ 前言：
“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科） 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
分数阶Fourier变换在通信中的应用
分数阶Fourier变换在通信中的应用 分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广。最早由Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。而其在信号处 理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性，它是一种统一的时频变换，随 着变换阶数从0 连续增长到 1 而展示出信号从时域逐步变化到频域 的所有特征。 一、FRFT概述 FRFT是一种重要的时频分析工具，其根本特点可以理解为对傅 立叶变换特征值的分数化。酉性、旋转相加性和对信号时频形式的统 一性是FRFT的基本性质。由于对特征值分数化方式的不同，以及对FRFT性质约束的宽泛性，使得FRFT具有很多种不同的定义形式。 根据这些定义各自的出发点和基本特征，可以大致将其划分为两类，即：经典类FRFT(CFRFT)和加权类FRFT(WFRFT)。 CFRFT是提出比较早的一种FRFT形式，目前CFRFT定义主要有三种不同形式：一种是V. Namias在1980年从傅立叶变换的特征值与特征函数的角度定义了分数傅立叶变换，数学上表示为“无穷级数和”的形式；另一种是1987年，A. C. Mcbride和F. H. Kerr基于Namias 的标准Chirp类分数傅立叶变换提出的“积分形式”；最后一种是 A. W.Lohmann在1993年从Wigner分布函数相空间的角度定义的分数傅 立叶变换。三种定义形式研究角度不同，但可以证明是相互等价的。
由于经典FRFT具有chirp形式的正交基，因而经典类FRFT又被称为“chirp类FRFT”。经典FRFT在求解微分方程、量子力学、信号 分析和处理等科学研究中有着比较广泛的应用；工程技术方面，如光通信系统、光图像处理等光学相关领域是最早利用经典FRFT的，也是目前应用最成功的。但是受限于经典FRFT的离散算法问题，其在通信领域的应用受到了比较大的限制。 二、FRFT分类及通信中的应用 CFRFT在通信系统中的应用往往与Chirp 信号在通信中的使用密不可分。IEEE 802.15.4a中就有两种不同的采用Chirp信号作为传输信号的调制方式。其一是利用Chirp信号的扩频特性的CSS技术，它将Chirp信号的扫频率作为调制参数；其二是在脉冲超宽带系统中 利用Chirp信号设计脉冲波形。考虑到线性调频信号在分数域体现为 冲激函数，易于检测和识别，因此分数阶傅里叶变换常被应用于线性 调频信号的检测与参数估计；而IEEE802.15.4a技术体系下对于时延/频偏的估计，以及同步和测距的需求，都可利用CFRFT进行深入的研究。 Chirp信号在通信系统中的另一个主要应用方式是构造多载波系统。M. Martone针对在时间和频率双选择性衰落信道下传统正交频分 复用系统的子载波正交性容易受到破坏而导致系统性能下降的问题， 提出了基于分数傅里叶变换调制解调的多载波系统，其结果表明该系统是双弥散信道中近似最优的无线通信系统，可以在不增加额外计算的代价下，提升系统性能。其后，T. Erseghe等在Martone的工作基
常用函数傅里叶变换
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换的无透镜光学实现 杨虎李万松 提要：利用球面波照射物体的自由空间菲涅耳衍射，完成任意级次分数傅里叶变换的无透镜光学实现，给出了不同条件下无透镜模式基本参量的选择法则及其分数傅里叶变换的数学表达。计算机模拟实验证明了结论的可靠与可行。 关键词：傅里叶光学变换透镜 Non lens optical realization of fractional Fourier transform Yang Hu (Department of Physics,ShanXi Normal University,Linfen 041004) Li Wansong (Opto－Electronics Department,Sichuan Union University,Chengdu 610064) Abstract:In this paper,we describe the fact that arbitrary orders of fractional Fourier transform can be realized by the Fresnel diffraction in free space.In this case,the object should be illuminated by sphere light wave.We give out the select laws of the basic parameter under different conditions and the mathematic expression of the fractional Fourier transform.Its reliability and feasibility are demonstrated by computer simulation. Key words:Fourier,Optical transform,lens 1 引言 分数傅里叶变换的概念最早由Namias用于求解各种条件下的薛定谔方程〔1〕，Lohmann于1993年将其引入信息光学〔2〕，用单透镜模式和双透镜模式完成了它的光学实现，并把分数傅里叶变换理解为透镜的位相转换与菲涅耳衍射的组合。在Lohmann提供的光学实现装置中，透镜是必需的基本光学单元，且其焦距的选择条件较为严格，因此给应用环境带来不必要的限制。 本文基于分数傅里叶变换的物理本质，利用球面波照射物体的自由空间菲涅耳衍射，完成任意分数级傅里叶变换，提供了不同条件下无透镜模式基本参量的选择定则，弥补了有透镜模式的不足。计算机模拟实验证明了结论的可靠性与可行性。 2 理论分析
常用傅里叶变换
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大，则 会收缩到原 点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 | a | 趋向无穷 时，成为狄拉克δ 函数。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质
7 变换6的频域对应8 表示和 的卷积—这就是卷 积定理 9 变换8的频域对应。[编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数 11 变换10的频域对 应。矩形函数是理 想的低通滤波器， sinc函数是这类 滤波器对反因果 冲击的响应。
12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 J0(t)是0阶第一 类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推 广形式; T n(t)是第 一类切比雪夫多 项式。 22 U n (t)是第二类切 比雪夫多项式。[编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数 分布.这个变换展示了狄 拉克δ函数的重要性：该 函数是常函数的傅立叶 变换 24 变换23的频域对应
25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.