正弦、余弦函数的定义域、值域PPT优秀课件

定 义 域 为 {| x 2 k x 2 kk , Z } 2 2


例1 求下列函数的定义域：
1 (3) y 1 sin x
( 3 ) 解 : 由 已 知 , 得 1 + s i n x ≠ 0
3 解定 义 域 为
o
-1
x
仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题： y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？ （2）正弦、余弦函数的值域是什么？ （3）它们的最值情况如何？ （4）它们的正负值区间如何分？ y
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
3 |x≠ 2k , kZ x 2
例1 求下列函数的定义域：
2 ( 4 ) y 2 5 x l g s i n x
解 ( 4 ) : 由 已 知 , 得
5 x 5 25 - x 2 0 2 k x 2 k ,k Z sin x 0
4
y 3 (1 ) 3 ，此时 m a x ,x k ,k Z
当
= 3 s i n 2 x , x ∈ R s i n 2 x 1时函数 y
，此时 y 3 (1 ) 3 m a x
4
取得最小值
2 x 2 k ,k Z,x k ,k Z 2 4 xx | k ,k Z } 自变量x的集合为 {
解：这两个函数都有最大值与最小值 = c o s x + 1 , x ∈ R （1）当 c 时函数 y o sx1
{ xx 2 k π ,k Z } = c o s x + 1 , x ∈ R 当c 时函数 y o sx 1
取得最小值 y 此时x的集合 110 m i n
（4）正负值区间：
sin x 0 x ( 2 k , ( 2 k 1 ) ) k Z ;

2
sin x 0 x (( 2 k 1 ) , 2 ( k 1 ) ) k Z ;
cos x 0 x ( 2 k , 2 k ) k Z ; 2 2 3 cos x 0 x ( 2 k , 2 k ) k Z .
( 1 ) y 2 cos x (2) y 3 sin x x)
( 3 ) y lg(sin
2 sin x （1） y 1 sin x
（3）
cos x 3 y （2） cos x 2
ya s in x b
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
原 函 数 的 定 义 域 为 { x | ( 2 k 1 ) π x 2 ( k 1 ), π k Z }
例1 求下列函数的定义域：
( 2 ) y l g c o sx
解 : 由 已 知 c o s x 0
解 得 2 k x 2 k ,k Z 2 2
2 3 π 1； 当 x 2 k ( k Z )时，y min 2
1 当 x 时， y ( 2 k 1 ) π .( k Z ) min
y
1
2
y 1
2
o
-1

3 2
2
x

2
o -1
2

3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
y=cosx，x[0, 2]
取得最大值 y 11 2此时x的集合 m a x
{ x x 2 k π , k Z }
= 3 s i n 2 x , x ∈ R （2）当 s 时函数 y i n 2 x 1
取得最大值
2 x 2 k ,k Z 4 2 xx | k ,k Z } 自变量x的集合为 {
解 得 : 5x < 或 0 < x <
所 以 原 函 数 的 定 义 域 为 [ 5 , ] [ 0 , ]

例2 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出
取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最
大值、最小值是什么？ ( 2 ) y 3 s i n 2 x , x R ( 1 ) y c o s x 1 , xR
余弦曲 线
2 3
o
-1

4
5
6
x
（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。 （2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半 径的长度， 所以
sin x 1 , 即 cos x 1
1 sinx 1 1 cosx 1
称为正弦、余弦函数的有界性。
正弦、余弦函数的 定义域、值域
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
1
2
(0,0) o
( 2 ,1)
五点画图法
( 2 ,0)
( ,0)
2

3 2
( 2 ,-1)
3
2
x
-1
y=sinx x[0,2] y y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
2
o
-1
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR 2 y 余弦函数的图象
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
2 3 4 5 6
正、余弦函数性质

定义域 值域 最值情况 正负值区间
作业布置：
教科书P64习题4.8的2、9。
思考题：
cos x 3 sin x 的最大值。 求函数 y
2
例3：求下列函数的值域：
（ 1）
1 y 2 sin x 1
（2）
sin x y sin x 2
练：求下列函数的定义域和值域：
2

例1 求下列函数的定义域：
( 1 )y 3 s i n x
1 (3) y 1 sin x
( 2 ) y l g c o sx
2 ( 4 ) y 2 5 x l g s i n x
解(1) 由 已 知 3 s i n x 0 即sin x 0
解 得 ( 2 k 1 ) π x 2 ( k 1 ) π , k Z
练习
1、求下列函数的定义域：
( 1 )y 2 cos x
1 (2)y 1 sin x
3 答案： ( 1 ){ x 2 k x 2 k , k Z }
2 2 ( 2 ){ x 2 k x ( 2 k 1 ) , k Z };
课堂小结：
y
1

2
o
-1
2
y 1

3 2
2
x

2
o -1
2

3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2] y=cosx，x[0, 2]
（3）取最大值、最小值情况： 正弦函数
y sin x， 当 xπ2 时， ymax 1 ; k ( k Z )
余弦函数
y cos x,当 x 2 k π ( k Z )时， ymax 1 ；