小学几何之蝴蝶定理大全

小学几何之蝴蝶定理大全
一、基本知识点
定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于
对应底边之比。

S i : S2 = a : b
定理2:等分点结论（鸟头定理）如图，三角形△ AED的面积占三角形△ ABC的面积的
3 12
5 4 20
定理3:任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）
1）S i : S2 =S4: S3 或S i x S3 = S 2 x S4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2 ）AO： OC = （S i+ S2）：（ S+ SO
梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）
1）S : S3 =a2: b2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等
3）S i : S3 : S2: S =a2: b2: ab : ab
4）S的对应份数为（a+b）2
定理4:相似三角形性质
、a b c h 1)
A B C
H
2) S : S = a 2
: A 2
定理5:燕尾定理
S
A ABG :S A AGC : =S ABGE :SA GEC =BE : EC S A BGA
:SA BGC : =S A AGF : :SA GFC =AF : FC S A AGC
:SA BCG : =S AADG
:SA DGB
=AD :DB
二、例题分析
例1、如图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, 多少平方厘米？
ABC 的面积是
A
1
例2、有一个三角形 ABC 的面积为1,如图，且AD 丄AB , BE
2
1
例3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=—AB,已知四边
3
例4、例1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示） ，求 另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中 BO=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平
三角形DEF 的面积
.
1
BC , CF
3
-CA ，求 4
形EDCA 勺面积是35,求三角形 ABC 的面积
.
B
方厘米?
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB
面积为1平方千米，△ BOC 面积为2平方千米，△ COD 的面积为3平方千米，公园陆地的 面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米?
例8、如图：在梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积为 25平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O （如图）所示。

1
如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的丄，且
3
AO 2，DO 3，那么CO 的长度是DO 的长度的 ___________________ 倍。

例10、左下图所示的；一‘ABCD 的边BC 长10cm,直角三角形 BCE 的直角边 EC 长8cm 已知 两块阴影部分的面积和比 △ EFG 勺面积大10cm ，求CF
的长。

为
例11、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。

求图中阴影部分的面积是多少？
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分 别为
15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
15
a
IS ■
b 3C
例15、如下图，已知 D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且 ADG
的面积比
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
10厘米和12厘米，求阴影部
分的面积。

例13、如图，大正方形 ABCD 的边长为6,依以下条件求三角形 BDF 的面积。

EFG 的面积大6平方厘米。

ABC 的面积是多少平方厘米 ？
二、练习题
1如图，四边形 ABCD 中, AC 和BD 相交于0点，三角形 ADO 的面积=5,三角形DOC 勺面积 =4,三角
形 AOB 的面积=15,求三角形BOC 的面积是多少？
2、如图所示，BD, CF 将长方形ABCD 分成4块，△ DEF 的面积是4 cm 2
, △ CED 的面积是 6cm 2。

问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=1 BC, CD=1
AC,那么三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的 ______________
3
4
C
4.如图，AKD是直角梯脱肋二5厘米，DM厘米，三角形WC的面积是1■汙方厘光则阴貓強就是—平方厘米
4爾
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2 ，三角形DEF的面积是16
平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米?
6、如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示（单位：平方
厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米。

A n
7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？
8、已知ABC中，AB AC 12cm，ABC的面积是cm2，P是BC上任意一点，P到
AB, AC的距离是x,y，那么x y _
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1 ,延长AB至D,使BD=AB延长BC至E,使CE=2B(C 延长CA 至F,使AF=3AC求三角形DEF的面积。