最大公因式的计算方法

最大公因式的计算方法

谭民雪 20101101918

数学科学学院信息与计算科学专业 2010级信息班

指导教师斯琴高娃

摘要最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般只讨论两个多项式的最大公因式的求法。方法主要有分解因式法和辗转相除法。考虑n个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此，求多个多项式的最大公因式需要多次计算，为了改进方法，逐渐出现了矩阵初等变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽不善完美，但是一种突破，本文在此基础上对求最大公因式的方法进一步做一个较全面的探讨而且配有相关例题，有助于理解学习。

关键词最大公因式，多项式，计算，矩阵，例题

1有关最大公因式的定义

1.1公因式的定义

令f(x)和g(x)是F(x)的两个多项式，若是F(x)的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。

1.2最大公因式的定义

设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式。

2最大公因式的计算方法

2.1辗转相除法

若f(x)=g(x)=0，那么由定义知：f(x)与g(x)的最大公因式为0；若f(x)与g(x)不都等于零，比方说g(x)≠0，应用带余除法以g(x)除f(x)得商式)(1x q 及余式)(1x r ，如果)(1x r ≠0,那么再以)(1x r 除g(x)，得商式)(2x q 及余式)(2x r ，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以做了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式)(x r k ≠0，它整除前一个余式)(1x r k -，这样我们得到一串等式：

f(x)=g(x))(1x q +)(1x r

g(x)=)()()(221x r x q x r +

)()()()(3321x r x q x r x r +=

……

)()()()(12x r x q x r x r k k k k +=--

)()()(11x q x r x r k k k +-=

我们说)(x r k 就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。