微分方程——欧拉方程
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t
( D 2 + 4) y = 5e −t
⑤
特征根: r = ± 2i, 设特解: y ∗ = A e −t , 代入⑤得 A＝1
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得通解为
y = C1 cos 2t + C2 sin 2 t + e −t
1 = C1 cos(2 ln x) + C2 sin( 2 ln x) + x 利用初始条件④得 1 C1 = −1, C2 = 2 故所求特解为 1 1 y = − cos(2 ln x) + sin( 2 ln x) + 2 x
x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x)
令 x = et ,
则
d y d y dt 1 d y = = d x dt d x x dt
2
dy x y′ = dt
2 d 1 d y dt d y 1 d y dy )⋅ = ( = 2( 2 − 2 dt x dt d x x dt dt dx
∗第十节 欧拉方程
欧拉方程
第十二章
x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x)
( pk 为常数 )
令 x = e t , 即 t = ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法: 欧拉方程的算子解法
即
dn y d n −1 y + b1 n −1 + L + bn y = f (e t ) d tn dt
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例1. 解: 则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
机动
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y = At + B t + C 代入①确定系数, 得
设特解:
机动
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思考: 思考 如何解下述微分方程 提示: 提示 原方程 直接令
d 记D= dt t [ D( D − 1) + p1 D + p2 ] y = f (e − a )
d 记D= dt
作业
P319 2 ; 6; 8
第11节 目录 上页 下页 返回 结束
2
∗
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
机动
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例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
即 特征根:
②
设特解: y = A t 2 e t , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
机动
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
d 令 x = e , 记 D = , 则③化为 dt [ D( D − 1) + D + 4] y = 5e −t
用归纳法可证
x k y ( k ) = D( D − 1) L ( D − k + 1) y
于是欧拉方程 x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x) 转化为常系数线性方程:
D n y + b1D n −1 y + L + bn y = f (e t )
)
LL
计算繁!
d2 y d y 2 x y ′′ = 2 − dt dt
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k d d 记 D = , D k = k (k = 2, 3, L) ,则由上述计算可知: dt dt x y′ = D y
ห้องสมุดไป่ตู้
x 2 y ′′ = D 2 y − D y = D( D − 1) y
( D 2 + 4) y = 5e −t
⑤
特征根: r = ± 2i, 设特解: y ∗ = A e −t , 代入⑤得 A＝1
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得通解为
y = C1 cos 2t + C2 sin 2 t + e −t
1 = C1 cos(2 ln x) + C2 sin( 2 ln x) + x 利用初始条件④得 1 C1 = −1, C2 = 2 故所求特解为 1 1 y = − cos(2 ln x) + sin( 2 ln x) + 2 x
x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x)
令 x = et ,
则
d y d y dt 1 d y = = d x dt d x x dt
2
dy x y′ = dt
2 d 1 d y dt d y 1 d y dy )⋅ = ( = 2( 2 − 2 dt x dt d x x dt dt dx
∗第十节 欧拉方程
欧拉方程
第十二章
x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x)
( pk 为常数 )
令 x = e t , 即 t = ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法: 欧拉方程的算子解法
即
dn y d n −1 y + b1 n −1 + L + bn y = f (e t ) d tn dt
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例1. 解: 则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
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y = At + B t + C 代入①确定系数, 得
设特解:
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思考: 思考 如何解下述微分方程 提示: 提示 原方程 直接令
d 记D= dt t [ D( D − 1) + p1 D + p2 ] y = f (e − a )
d 记D= dt
作业
P319 2 ; 6; 8
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2
∗
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
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例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
即 特征根:
②
设特解: y = A t 2 e t , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
d 令 x = e , 记 D = , 则③化为 dt [ D( D − 1) + D + 4] y = 5e −t
用归纳法可证
x k y ( k ) = D( D − 1) L ( D − k + 1) y
于是欧拉方程 x n y ( n ) + p1 x n −1 y ( n −1) + L pn −1 x y ′ + pn y = f ( x) 转化为常系数线性方程:
D n y + b1D n −1 y + L + bn y = f (e t )
)
LL
计算繁!
d2 y d y 2 x y ′′ = 2 − dt dt
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k d d 记 D = , D k = k (k = 2, 3, L) ,则由上述计算可知: dt dt x y′ = D y
ห้องสมุดไป่ตู้
x 2 y ′′ = D 2 y − D y = D( D − 1) y