《数学建模方法及其应用》PPT

b x0 (t 0 ) ，此处 h min a, , M max f (t , x) 。 ( t , x )R M
9 2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性
定理 2 如果函数 f (t , x) 在 R : t t0 a, x x0 b 上连续，且满足 Lipschitz 条件:存在 L 使得
当 cd ab 时，平衡点 ( x* , y * ) 不稳定，即当双方制约发 展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军 备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争．
25 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
当 0 ，且 cd ab 时，平衡点 ( x * , y * ) (0,0) 是稳定的．即甲乙双方没有厉害冲突和争端，在和平共 处的情况下，都没有发展军备的欲望．
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
如果有某种原因迫使某一方单方面裁军， 如甲方
dx 既使在某个时候有 x(t ) 0 ，但由于 ay 的 dt
作用，则甲方的军备很快还会发展起来．
27
2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的 战势进行评估分析.
直接方法：将函数 f ( x) 在 x0 点作一阶泰勒展开，即
dx f ( x0 )( x x0 ) dt 显然 x0 也是该方程的平衡点，其稳定性取决于 f ( x0 ) 符号：
若 f ( x0 ) 0 ，则平衡点 x0 是稳定的； 若 f ( x0 ) 0 ，则平衡点是不稳定的。
3.平面方程的平衡点及稳定性
将方程组（4）的右边的函数作一阶泰勒展开，即
dx1 (0) (0) (0) ( 0) (0) (0) f ( x , x )( x x ) f ( x , x )( x x x1 1 2 1 1 x2 1 2 2 2 ) dt dx2 g ( x ( 0) , x ( 0 ) )(x x ( 0 ) ) g ( x ( 0) , x ( 0) )(x x ( 0) ) x1 1 2 1 1 x2 1 2 2 2 dt
17 2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
3.平面方程的平衡点及稳定性
dx1 f ( x1 , x 2 ) dt 设平面方程 （4） dx2 g ( x , x ) 1 2 dt （0） ( 0) （0） ( 0) 的平衡点为 x1 x1 ，x2 x2 ，记为 P0 ( x1 ，x2 ) 。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
如果对所有可能初值条件的解 x1 (t )，x2 (t ) 有
lim x1 (t ) x ， lim x 2 (t ) x
t （0） 1 t
(0) 2 ，
（0） ( 0) 则称平衡点 P0 ( x ， x 1 2 ) 是稳定的；否则是不稳定的。
18 2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
第三章 微分方程方法
微分方程的一般理论； 微分方程的平衡点及稳定性；
案例：战争的预测与评估问题； 案例：SARS的传播问题。
3
2018年11月17日
第三章 微分方程方法
微分方程是研究函数变化规律的有力 工具，有着广泛和实际的应用。
含有微分项的方程通称为微分方程。
4 2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2） ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx f (t , x ) dt x (t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点 （或奇点） 。 且称 x x0 为方程组的平凡解（或奇解） 。
开普勒三大定律：
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
5
2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
dx f (t , x) 一阶微分方程： dt （1） x(t 0 ) x0 其中 f (t , x) 是 t 和 x 的已知函数， x(t 0 ) x0 为初始条件。
如果引入向量
dxn dx dx1 dx2 x ( x1, x2 ,, xn ) , f ( f1 , f 2 ,, f n ) , , ,, dt dt dt dt
T T
T
则方程（2）可以写为简单的形式：
dx f (t , x ) dt x (t0 ) x0 即与（1）的形式相同，当 n 1 时为（1） 。
7
dx f (t , x) dt x(t 0 ) x0
2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
对于任一高阶的微分方程
dix 如果记 i yi (i 0,1,2,, n) ,则 dt dy n 1 f (t ; y0 , y1 , , yn 1 ) dt
d nx dx d n1 x f (t; x, ,, n1 ) n dt dt dt
dx f (t , x ) dt x (t0 ) x0
8 2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
2. 微分方程解的存在唯一性 问题：正规方程组（2）的解在 什么条件下存在，且唯一呢？
１．平衡点的概念
判断平衡点的稳定性有两种方法：
间接方法：首先求出方程的解 x (t ) ，然后 利用定义 lim (t ) x0 来判断。
t
直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性。
16
2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶方程的平衡点及稳定性
dx 方程 f ( x) 的平衡点 x x0 的稳定性判断方法： dt
22 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
问题(1): 首先，双方都有一个固有的增加军备的 需求， 即各自的固有军备增长率， 分别记为常数 和 ．
其次，甲方的军备实力的增长与乙方的军备实 力成正比，反之亦然．其比例系数分别记为 a 和 b ．
再次， 军备增长率减少的程度与现有的军备实力 成正比，其比例系数分别记为 c 和 d ．
10 2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实 际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽 略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。 干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持 续地起作用。 问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰 因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也 只引起对应解的微小变化？
一阶的微分方程组：
dxi f i (t , x1 , x2 ,, xn ) (i 1,2,, n) dt x (t ) x (0) (i 1,2,, n) i i 0
方程组（2）又称为一阶正规方程组。
6
(2)
2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
1. 微分方程的一般形式
f (t , x (1) ) f (t , x ( 2) ) L x (1) x ( 2) ，
其 中 (t, x (1) ), (t, x ( 2) ) R , 则 方 程 组 （ 2 ） 满 足 初 值 条 件
x0 (t 0 ) 的解是唯一的。
dx f (t , x ) dt x (t0 ) x0
23 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解
甲乙双方军备竞赛的数学模型:
dx cx ay dt dy bx dy dt
(1)
为了研究军备竞赛的结局，求(1)的平衡点，即
cx ay 0 bx dy 0
定理 1（Cauchy-Peano）
dx f (t , x ) dt x (t0 ) x0
如果函数 f (t , x) 在区域 R : t t 0 a, x x0 b 上连续， 则 方 程 组 （ 2 ） 在 t t 0 h 上 有 解 x (t ) 满 足 初 值 条 件
14 2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
如果对所有可能初值条件，方程组（2）的解 x (t ) 都满足
lim (t ) x0
t
则称平衡点 x0 是稳定的；否则是不稳定的。
问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？
15
2018年11月17日
二 .微分方程的平衡点及其稳定性
a d * b a ,y (cd ab ) ． 可得 x cd ab cd ab
*
24 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
3. 模型的建立与求解

当 cd ab 时，平衡点 ( x , y ) 稳定，即当双方制约发展
* *
军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的 最终结果是可以达到平衡的．
11 2018年11月17日
一、微分方程的一般理论
3. 微分方程的稳定性问题
（1）有限区间的稳定性 （2）无限区间的稳定性 （3）渐近稳定性
（4）经常扰动下的稳定性
12
2018年11月17日
第三章 微分方程方法
实际中，对于很多问题的微分方程 模型并不需要求其一般解，而是需要求 其某种理想状态下的解，这种解称为平 衡点。
21
2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
2. 模型的假设
（１）敌对双方为甲方和乙方，时刻 t 的军 备综合实力分别为 x(t ) 和 y(t ) ；
（２）双方的军备综合实力是随着时间连续 平稳变化的，即 x(t ) 和 y(t ) 是时间 t 的连续 可微函数；
（３）不考虑第三方的军备实力对甲乙双方 的影响．
（5）
记系数矩阵为 A ，且 A 0 ， p ( f x1 g x2 )
p0
,q A 。
（0） (0) 当 p 0, q 0 时平衡点 P ( x ， x 0 1 2 ) 是稳定的； （0） (0) p 0 当 或 q 0 时平衡点 P 0 ( x1 ，x2 ) 是不稳定的。
19 2018年11月17日
三 .战争的预测与评估问题
１．问题的提出
由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族 矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部 战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌 对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装 备现已成为决定战争胜负重要因素． 军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装 备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．
当 0, 0 ，且 cd ab 时，即双方军备竞赛的存 在性，既便是双方被迫裁军，在某个时候有 x(t ) 0 和
dx dy y(t ) 0 ，但由 0 和 0 ，则双方的军备 dt dt
竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来．
26 2018年11月17日