数学选修2-1测试题(含答案)精品

【关键字】条件、空间、矛盾、焦点、充分、建立、满足、方向、中心

数学选修2-1 综合测评

时间：90分钟 满分：120分

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)

解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－

1⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，32，－1，故选C. 答案：C

2．若命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C

3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )

A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥α

B ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥m

C ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m

D ．l ∥α，m ∥β且l ∥m

解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确．

答案：C

4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

A.x 216＋y 212＝1

B.x 212＋y 216＝1

C.x 216＋y 24＝1

D.x 24＋y 216＝1

解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 24＝1.

∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，

顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．

∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.

答案：D

5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( ) A.32 B.12 C.32 D.34

解析：

菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.

因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.

答案：B

6．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．6

解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的

渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的

距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|2＋4

＝ 3. 答案：A

7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34

解析：取DA →，DC →，DD 1→

分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1

的距离为d ＝|AA 1→

·n ||n |

＝43. 答案：C

8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8

解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.

答案：C

9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪

π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π2

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪⎪⎪ π3≤α≤π2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 内，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．

答案：A

10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )

A.12

B.23

C.13

D.53

解析：由PF 1→·PF 2→

＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2

＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即

4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝53，

故选D.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

11．若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．

解析：原命题的否定形式为∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.

答案：[－22，22]

12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →

＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．

解析：由OP →·OA →

＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.

答案：x ＋2y －4＝0

13．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．

解析：因为AB →·PC →＝AB →·(P A →＋AC →)＝AB →·P A →＋AB →·AC →

＝1×2×cos

45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →|＝6，