多样本的非参数检验

ni
Rij2 NR 2
j 1
如果没有打结，则有
S2
1 N(N
N
1
1)(2 N 6
1)
N (N 1)2 4
＝ N(N+1) 12
H的一般计算公式
H 12
k Rj n j (N 1) / 2 2
N (N 1) j1
nj
H的简易计算公式
H
12 N(N 1)
k j 1
R2j nj
检验步骤：
(1)建立假设
H 0 : F1 (x) F2 (x) ... Fk (x) 对所有的 x
H1 : Fj (x)中至少有两个不相等 ( j 1,2,..., k) 如果偏重于考察位置参数，则所建立的假设是：
H 0 : M 1 M 2 ... M k
H1
:
M
中至少有两个不相等
Rij2 NR 2
j 1
如果没有打结，则有
S2
MST
1 N(N
N
1
1)(2 N 6
1)
N (N 1)2 4
＝ N(N+1) 12
❖ 严格地讲，
1
H S2
k Rj n j (N 1) / 22
j 1
nj
❖ 其中
S 2
1k N 1 i1
ni
(Rij R)2
j 1
1k N 1 i1
组间方差和组内方差
组间离差平方和
r
SSA m(xi x)2 i 1
组内离差平方和
rm
SSE
(xij xi )2
i 1 j 1
组间方差
MSA SSA r 1
受因素A和 随 机
因素的影响
组内方差
MSE SSE nr
只受随机 因素的影响
多样本的非参数检验方法
❖ Kruskal-Wallis检验（K个独立样本） ❖ 多样本的 2 检验（K个独立样本） ❖ Friedman检验（K个相关样本） ❖ Cochran Q检验（K个相关样本）
为检验零假设，我们需要构造一个检验统计
量。方法是将所有数据按从小到大的顺序合并成 一个单一的样本，其大小 N n1 n2 ... nk 。将每 一个观察值给出一个等级即评秩，秩为整数，从 1到N。对于N个观察值来说，平均等级是
1 2 ... N N(N 1) N 1
N
2N
2
❖ 对于含有 n j个观察值的第j个样本来说，等级总和 的期望值是 n j (N 1) / 2 ，若以Rj表示第j个样本的实际等 级总和，则 Rj n j (N 1) / 2 就表示k个样本中第j个样本等 级总和与其均值的偏差。
❖ K-W检验前提是假定总体连续，除位置参数 不同外，分布相似。
完全随机化设计数据形态
总体1
总体2
…
x11
x12
…
重
x21
x22
...
复
…
…
…
xn11
xn22
总体k
x1k x2k … xnkk
完全随机化设计数据的秩
总体1
R11
重
R21
复
…
Rn11
总体2
…
R12
…
RBaidu Nhomakorabea2
...
…
…
Rn22
总体k
R1k R2k … Rnkk
H SSA MST
SSA ：处理间离差平方和 MST ：总均方离差平方和
❖ 严格地讲，
H
SSA MST
1 S2
k j1
Rj
nj (N 1) / 22 nj
1 S2
k
[n j (Rj
j1
R)]2
❖ 其中
S2
MST
1k N 1 i1
ni
(Rij R)2
j 1
1k N 1 i1
ni
第四章 多样本非参数检验
❖ 在参数统计中，检验n个样本是否来自完全相 同的总体，采用方差分析或F检验。
❖ 运用F检验的假定条件是：
1，样本是从服从正态分布的总体中独立抽
选的；
2，总体具有相同的方差；
3，数据的测量层次至少是定距尺度。
❖ 当被用来分析的数据不符合这些假定条件， 或研究者不希望做这些假设，以便增加结论 的普遍性时，不宜采用参数统计的方法，而 必须用非参数方法。
4.1 Kruskal-Wallis检验
❖Kruskal-Wallis检验译为克拉夏尔瓦里斯检验，简称克氏检验。它是 1952年由Kruskal和Wallis两人提 出的，是两个独立样本MannWhitney-Wilcoxon检验的一种推广。
4.1.1 基本思路与检验步骤
❖ 今要研究k个总体的分布是否相同，需要的数 据是k个独立的随机样本，其大小为n1, n2 ,..., nk 样本独立地分别从各自的总体中抽取，总体 分别具有连续的累积概率分布F1(x), F2 (x),..., Fk (x) 。 数据的测量层次至少在定序尺度上。
❖ 如果k（>2）个样本是按某种或者某些条件 匹配的，那么k个样本称为相关的，否则为独 立的。K个相关和独立样本的差别与两个相 关和独立样本之间的差别类似。
❖ 多样本的问题是统计中最常见的一类问题。 主要涉及如何检验n种不同方法、决策或试 验条件（称为处理）所产生的结果是否一样 等问题，可以使用Kruskal-Wallis秩和检验、 卡方检验、正态记分检验、JonkheereTerpstra检验、Cochran Q检验、Friedman 检验等非参数检验方法。本章仅介绍其中的 最常用、重要的检验方法。
❖ 如果H0为真，所有样本数据混合排列成一个单一 的随机样本，等级即秩次应该在k个样本之间均匀地 分布，各组中Rj的平均值差别不大，即各样本实际的 等级总和即秩次和Rj与期望等级总和 n j (N 1) / 2 之间的 偏差应很小。
❖ Kruskal-Wallis检验定义的统计量就是建立 在实际等级总和Rj与期望等级总和n j (N 1) / 2 的 偏差的基础之上的。它定义为H，计算公式 为：
复习：方差分析的基本思想
组间方差 MSA SSA r 1
F= 组内方差 MSE SSE nr
❖ 如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
❖ 如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1
❖ 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
3(N
1)
~
2 (k
1)
❖ 在小样本的情况下，已知（n1,n2,n3)和显著
性水平 ，Kruskal-Wallis检验统计量Ｈ的
临界值可通过查表得到。 ❖ 在大样本情况下，Ｈ服从 2 (k 1) 。
参照方差分析的Ｆ统计量服从Ｆ(k-1,N-k).
F (N k)H (k 1)(N 1 H )