数量积 向量积 混合积

0 sin 0)
| 0a.|0,0(,a|ab//|0b,
b 0,
0)
()
|
aa//bb||a||
0或 sin
b | sin 0.
源自文库
0
2.3（（（、123向）） ）量分 若a积配为b的律数运：:算(ba(法aa则b.))向bc量a积a符(c合b)下b列c(运.a算 b规).律：
8.2
2020年4月24日星期五
证 0, a a | a|| a| cos | a|2 .
(2)
a
b
证 ()
0
ab a0,b|.a|
0,
| b |
0,
cos 0, , ab.
2
()
ab,
, 2
cos 0,
a
b
|
a||
b|
cos
0.
8.2
2020年4月24日星期五
5/20
1.⑴⑵⑶3、交分结数换配合量律律 律积：： ：若 若的(aa运为 b,算b数 为 )法bc:数则a(;:数aa()量cab积)b符(ac合b(;)下b)列运(算(aa规bb律))., ：
bz 2
1, 2
(3)
3 .
a
b
|
4 b|
Pr
jba
Pr
jba
a b |b|
3.
8.2
2020年4月24日星期五
8/20
例3
证明向量c与向量(a
c)b
(b
c)a垂直.
证
[(a
c)b
(b
c)a]
c
[(a
c)b
c
(b
c)a
c]
(c b)[a c a c]
0
[(a
c)b
(b
二、两向量的向量积
2.1、定义 2.2、向量积的两个性质 2.3、向量积的运算法则 2.4、坐标表式示
三、向量的混合积
3.1、定义 3.2、关于混合积的说明
四、小结
数量积 混合积（结果是数量）
向量积（结果是向量）
（注意共线、共面的条件）
思考题
已知向量a
0，b
0，
证明|
a
b
|2
|
a |2 |
b |2
补充
| a b|表示以a和b为邻边
的平行四边形的面积.
a
c
a
b
b
8.2
2020年4月24日星期五
j || k | 1, i
a yby azbz
i
j
j
k
k
1.
⑵两a向 b量夹| a角|| b余|弦co的s坐标表co示s 式
cos
axbx a yby azbz
|
aa||bb|
,
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
8.2
2020年4月24日星期五
7/20
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
例2
已知
a→
(1,1,4)，→b
(1,2,2)，求⑴
→→
a·b;
⑵ a→与 →b 的夹角；⑶ a→ 在 →b 上的投影.
解 (1)
a
b
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos
ax2
axbx a yby azbz a y2 az2 bx2 by2
a数| b量b|c积os|也b|称PPrr为jjab“ba,点|积|aa”| c| Po、sr“jab内P.r积jb”a,.
b
a
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和
另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
8.2
2020年4月24日星期五
4/20
1.2、数量积的两个性质
(1) a a | a|2 .
Q
⑵c定的 | c义方|向|向a既量|| 垂 ba|直 与si于 nb的a， 向(其又量中垂积直为为于acb与，ab指的向b夹符角合)右手系.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
8.2
2020年4月24日星期五
10/20
2.2、((12)向) a量a//积ab的0两.个性a(质b
证 ()
a
b
0,
sin 0,
(a
b)
2
.
作业：第22页 1； 3；6；9；10.
8.2
2020年4月24日星期五
3/20
1.1、定义
⑴以实sW例表一示物位| F体移在|，| 常s则|力力coFFs作所用作(下其的沿中功直为线为从WF点与FMs1的s移夹动角到)点M2，
⑵启定示义a两向b向量|量aa作与||这bb的样| c数的os量运 算积(其,为中结a果为b是a一与个b数的量夹.角)
高 等
数
高
Scalar Product Vector Product 学
等
Triple Scalar product
数
学 课
一、两向量的数量积
件
二、两向量的向量积
c
a
b
b
三、两向量的混合积 a
四、小结 思考题
编
2/20
一、两向量的数量积
1.1、定义 1.2、数量积的两个性质 1.3、数量积的运算法则 1.4、坐标表式示
c)a]c
8.2
2020年4月24日星期五
9/20
2.1、定义
⑴实例 设O 为一根杠杆L的支点，有一力F 作用于这杠杆
上
P
点处．力
F
与OP的夹角为
，力F
对支点O
的力矩是
一向量 M ，它的 模
F
|
M || OQ || F | | OP || F | sin
M
的方向垂直于OP
与F
所决
O
P
L 定的平面, 指向符合右手系.
例1 试用向量证明三角形的余弦定理。
A
证 设在ΔABC中,∠BCA=θ,|BC|=a,|CA|=b, c
|AB|=c,要证:c2= a2+b2-2abcos θ.
b
从记而CBaaa|,cC|2Abcbbc, 2AaB(abbc|),a(则a|2有b|c)b|2aa2ab|a, |b| bB b| cos2(aaa,bb).C
11/20
2.4、坐标表式示
⑴设a向a量b积a(的axixi坐a标ay表yjj达aa式zzkk,)b(bxibxiby jby
j bz
bzk )
k
i i
j
j
k
k
0,
i j
j i
k , j k,
k
k
i
j
, ki j , i , i k
j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
i jk
向量积还可用三阶行列式表示
a
b
ax
ay
az
bx by bz
8.2
2020年4月24日星期五
12/20
由上式可推出 a//b ax a y az bx by bz
bx 、b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax ay az 0 0 bz
ax 0, ay 0
c2 a2 b2 2abcos .
8.2
2020年4月24日星期五
6/20
1.4、坐标表示式
⑴设数a量ab积a的(xai坐xi标aay表jy j示a式azkzk,)b (bxbixiby jby
j bz
bz
k)
k
i jk, i j j k k i 0,
a
b
| i ||
axbx