第九章习题详解

习题9

9.1选择题

(1) 正方形的两对角线处各放置电荷Q ，另两对角线各放置电荷q ，若Q 所受到合力为零，则Q 与q 的关

系为：（）

（A ）Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q

[答案：A]

(2) 下面说法正确的是：（）

（A ）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B ）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C ）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D ）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。

[答案：A]

(3) 一半径为R 的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R 处的电场强度（） （A ）σ/ε0（B ）σ/2ε0（C ）σ/4ε0（D ）σ/8ε0

[答案：C]

(4) 在电场中的导体内部的（）

（A ）电场和电势均为零；（B ）电场不为零，电势均为零；

（C ）电势和表面电势相等；（D ）电势低于表面电势。

[答案：C]

9.2填空题

(1) 在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。

[答案：零]

(2) 一个点电荷q 放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将。

[答案：q/6ε0,将为零]

(3) 电介质在电容器中作用（a ）——（b ）——。

[答案：(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命]

(4) 电量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，则球内球外的静电能之比。

[答案：1：5]

9.3电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解:如题9.3图示

(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷

解得q q 3

3-

=' (2)与三角形边长无关．

题9.3图题9.4图

9.4两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解:如题9.4图示

解得θπεθtan 4sin 20mg l q

=

9.5根据点电荷场强公式2

04r

q E πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物

理意义的，对此应如何理解?

解:02

0π4r r q E ϖ

ϖ

ε=

仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实

际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 9.6在真空中有

A ，

B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有

相互作用力f ，有人说f =2

02

4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 0

2

ε．试问这两种说法对吗?为什么?

f 到底应等于多少?

解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S

q

E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S

q E 02ε=

，另一板受

它的作用力S

q S q

q f 02

022εε=

=，这是两板间相互作用的电场力． 9.7长l =15.0cm

的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C/m 的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上

与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解：如题9.7图所示

(1) 在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

2

0)

(d π41d x a x

E P -=

λε 2

22

)

(d π4d x a x

E E l l P P -=

=⎰

⎰-ελ

题9.7图 用15=l

cm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅,5.12=a cm 代入得

21074.6⨯=P E 1C N -⋅方向水平向右

(2)同理

22

20d d π41d +=

x x

E Q λε方向如题9.7图所示

由于对称性

⎰=l

Qx

E

0d ，即Q E ϖ

只有y 分量，

∵22

2

222

20d

d d d π41d ++=

x x x E Qy

λε

以9

10

0.5-⨯=λ1cm C -⋅,15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正向

9.8一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解:如9.8图在圆上取ϕRd dl

=

题9.8图

ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2

0π4d d R R E εϕλ=

方向沿半径向外

则ϕϕελ

ϕd sin π4sin d d 0R

E E x =

=

积分R R E x 000

π2d sin π4ελ

ϕϕελπ

==

⎰

∴R

E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向．

9.9均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r

>>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．

解:如9.9图示，正方形一条边上电荷

4

q

在P 点产生物强P E ϖd 方向如图，大小为 ∵2

2cos 2

21l r l +

=

θ

∴2

4

π4d 2

22

20l r l l r E P

+

+

=

ελ

P E ϖ

d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥