高一数学圆的方程经典例题

典型例题一

例1圆(x 3)2 (y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个?

分析：借助图形直观求解•或先求出直线11、|2的方程，从代数计算中寻找解答.

解法一：圆(x 3)2 (y 3)2 9的圆心为0,3,3)，半径r 3 .

3 3

4 3 11 设圆心01到直线3x 4y

11 0的距离为d，则d _____ 2 3.

如图，在圆心01同侧，与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点,

这两个交点符合题意.

又rd 3 2 1.

•••与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.

•••符合题意的点共有3个.

解法符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0,且与之距离为1的直线和圆的交

占

八、、♦

m 11 设所求直线为3x 4y m 0，则d

____________________________________

L 1,

J3242

•- m 11 5，即m 6，或m 16，也即

l：x 4y 6 0,或g3x 4y 16 0 .

设圆01:(x 3)2 (y 3)29的圆心到直线|1l2的距离为d1、d2，则

d1

3 3

4 3 16 ,3242■ 3242

• h与O1相切，与圆O1有一个公共点；J与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的点共3个.

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解:

3 3

4 3 11

设圆心0,到直线3x 4y 11

0的距离为d ，则d ----------- , _2

3.

J32 42

•••圆。1到3x 4y 11

0距离为1的点有两个.

显然，上述误解中的 d 是圆心到直线3x 4y 11 0的距离，d r ，只能说明此直线

与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为

1.

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此 题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与 直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.

典型例题三

例3求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4) 与圆的关系. 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的位

置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外； 若距离等

于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.

解法一：(待定系数法)

设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r 2. •••圆心在y 0上，故b 0. •圆的方程为(x a)2 y 2 r 2.

又•••该圆过 A(1,4)、B(3,2)两点.

(1 a)2 16 r 2 (3 a)24 r 2

解之得：a 1 , r 2

20 .

所以所求圆的方程为(x 1)2 y 2 20 .

解法二：(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4)、B(3, 2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线I 上，又因为 k AB

4 2

1,故

I 的斜率为1，又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线I 的方程为:

1 3

y 3 x 2 即 x y 1

0 .

又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0)

•••半径r AC| «(1 1)242y/20 .

故所求圆的方程为(x 1)2 y220.

又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为

d | PC 7(2 1)242(25 r .

•••点P在圆外.

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量, 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

典型例题四

例4圆x2 y2 2x4y 3 0上到直线x y 10的距离为' 2的点共有().

(A) 1 个(B) 2 个(C) 3个(D) 4 个

分析: 把x2 y2 2x4y 3 0化为x12 y

2

2 8 ,圆心为1, 2 ,半径为

r 2.2，圆心到直线的距离为.2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C.

典型例题五

例5过点P 3, 4作直线I ,当斜率为何值时, 公共点，

如图所示.

分析：观察动画演示，分析思路.

解：设直线|的方程为

y 4 k x 3

即

kx y 3k 4 0

根据d r有

k 2 3k 4 —j - 2

“ k2

整理得

直线I与圆C: x 1 2 y 2 24有

典型例题六

例6已知圆o ： x 2 y 4，求过点p 2,4与圆0相切的切线. 解：•••点P 2,4不在圆0上，

•••切线PT 的直线方程可设为 y k x 2 4

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在•易求另一条切

线为x 2 •

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0解决(也要注 意漏解)•

还可以运用x °x y °y r 2，求出切点坐标 x °、y °的值来解决，此时没有漏解.

典型例题七

例7自点A 3,3发出的光线I 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆

2 2

C: x y 4x 4y 7 0 相切

(1)求光线I 和反射光线所在的直线方程.

解得

3k 2 4k 0

根据d r

解得 所以

即

2k 4 .1 k 2

3x

3x 4y 10 0