微分及意义

第六节 微分及其应用

一、微分的定义与几何意义

讨论当自变量有微小变化时，函数大体上的变化情况。

引例： 边长为x 的正方形铁片，其面积函

数为2x y =，假定它在0x 受热而膨胀，边长增加x ∆，这

时

面

积

的

增

加

量

为

202

0202)(x x x x x x y ∆+∆=-∆+=∆ 从上式可

以看出，y ∆分成两部分，第一部分x x ∆02是x ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分是比x ∆高阶的无穷小。由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量可用第一部分来

代替，此时误差也很小（误差仅为2

x ∆）。

1、定义 设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内，如果

函数的增量

)()(00x f x x f y -∆+=∆

可表示为

)(x o x A y ∆+∆=∆

其中A 是不依赖x ∆的常数，那么称函数)(x f y =在点0x 点可微的，而x A ∆叫做函数

)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即

x A dy ∆=

注：(1) 微分dy 依赖于函数)(x f ，点0x 及自变量的改变量x ∆；

(2) 微分dy 是x ∆的线性函数 可以证明：

证明 （1）可微一定可导

若)(x f y =在x 点可微，则)0)((→∆∆+∆=∆x x o x A y

x x o A x y ∆∆+=∆∆∴

)(等式两边取0→∆x 时的极限，有： A x x o A x y x x =∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00即极限x

y x ∆∆→∆0lim 存在且等于A ，

0x x ∆

而由导数定义，此极限就是：)('x f

A x f =∴)('，可微一定可导

（2）可导一定可微

若)(x f y =在x 点可导，则)('lim

0x f x

y

x =∆∆→∆

)()('x x f x

y

∆+=∆∆∴

α，其中0)(lim 0=∆→∆x x α

x x x x f y ∆∆+∆=∆∴)()('α 这里x x ∆∆)(α是一个关于x ∆的高阶无穷小量，

可将)0)(()(→∆∆∆∆x x o x x 记作α

)()('x o x x f y ∆+∆=∆∴

由微分定义，可知)(x f y =在x 点可微，且x x f dy ∆=)('

综上所述，对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的，且有x x f dy ∆=)('。 2、可微与可导关系

结论 )(x f y =在点0x 处可微⇔)(x f y =在点0x 处可导，且A x f =')(0，由此

x x f dy ∆'=)(0。

主部的定义

)(x o dy y ∆+=∆

即dy 是y ∆的主部，因而

dy y ≈∆

又因x x f dy ∆'=)(0是x ∆的线性函数，所以在0)(0≠'x f 的条件下，就说dy 是y ∆的线性主部 （当0→∆x ）。

通常将自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记作dx ，即x dx ∆=，于是，函数

)(x f y =的微分又记为

dx x f dy )('= 从而有

)(x f dx

dy

'= 函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微

商”。

3、微分的几何意义

函数()y f x =的图形是一条曲线，

)(x f y =是可微的，当y ∆是曲线

函

数

)(x f y =的点的

纵坐标的增量时，dy 就是曲线的

切线上点的纵坐标的增量,,的附近在点很小时当M x ∆切线段近似代替曲线段。因而，

dy y ≈∆

二、微分运算法则

我们把自变量的微分dx 定义为自变量的改变量x ∆，因此可导函数)(x f 在任一点的微分可写成

dx x f dy )('= 1、基本微分公式：

dx x

darc dx x x d dx

x x d dx x x d xdx

x d xdx x d xdx x d xdx x d dx

a

x x d dx x x d adx

a da dx e de dx x dx dc a x x x x 2

22

222111

cot 11arctan 11

arccos 11arcsin csc cot sec tan sin cos cos )(sin ln 1

log 1ln ln 0+-=+=--=-=-==-========-ααα

2、微分运算法则

设)(x u u =及)(x v v =都是关于x 的可导函数，则有：

dv du v u d ±=±)(

cdu cu d =)( （其中c 为常数）

()0, )()(2

≠-=+=v v udv

vdu v u d udv

vdu uv d 其中 例3 求函数x e y =在点x=0与x=1处的微分。

例4 求函数2x y =当3=x 和02.0=∆x 时的微分

解 x x x x dy ∆=∆'=2)(2，所以 12.0|2|02

.03

02

.03

=∆==∆==∆=x x x x x x dy

3、复合函数的微分法则

设)( , )(x g u u f y ==，且函数g 在x 处可导，函数f 在相应的点u 处可导，则

dx x g u f dy )()(''=，由于du dx x g =')(，

故 du u f dy )('=

注意到当u 是自变量时，函数)(u f y =的微分dy 也具有上述形式，因此，不管u 是自变量还是因变量，上式的右端总表示函数的微分，这一性质称为微分形式不变性。 例5 设x y cos =，求dy 例6 设x e y x cos 31-=，求dy 例7 求由方程y

x

e

y -=所确定的隐函数)(x y y =的微分

三、微分在近似计算中的应用

利用微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当|x ∆|很小时，有

x x f dy y ∆'=≈∆)(0 即

x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000 或 ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈

特别地，当x f f x f x x )0()0()(||,00'+≈=很小时，有且 常见的近似公式有（|x|很小时）：

n

x x n

+

≈+11 x e x

+=1 x x ≈+)1ln( x x ≈s i n

x x ≈tan 例9 计算 arctan1.05的近似值 例11 计算05.1的近似值