修改第一节定积分的概念及性质

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
由b 往 a 看, xi* xi1 xi xi .
a
b
n
f (x) d x lim x 0 i1
f (i )xi
n
lim x0 i1
f (i )(xi )
Si 与i 的选择有关.
对每个小曲边梯形均作上述的代替
xi1 •i xi
第三步：求和
n
n
曲边梯形面积: S Si f (i )xi .
i1
i1
S 与区间的分法 及点i 的选择有关.
第四步：取极限
如何求精确值？
令 x
max
1in
{xi
}
,
则
极限过程是什么？
n
曲边梯形面积 :
S
lim x0 i1
y
y f (x)
oa
y g(x) bx
曲边梯形
曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平 行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交 点（这里不排除某直线缩成一点）.
求由连续曲线 y f ( x) ( f ( x) 0)
与直线 x a, x b 及 x 轴所围曲
边梯形的面积.
y
y f (x)
S ?
oa
x
b
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
阿基米德运用这种方法，求得抛物线 y 与x2x轴及
直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.
y
y x2
S lim n ( i )2 1
f (i )xi .
极限存在与否，与区间的分法 及点i 的选择无关.
y y f (x)
O a x1
xi1 xi
b
x
例1 求由 y c (c 0) 与 x a, x b 及
x 轴所围成 的图形的面积.
在[a,b] 中任意插入 n 1个分点:
a x0 x1 x2 xn1 xn b
为定积分号；
a 为积分下限；
b 为积分上限；
f (x) — 被积函数；
f (x)d x — 被积表达式；
d x中的 x —积分变量； [a,b]—积分区间.
( 积分变量的取值范围)
注： (1)定积分与积分变量符号无关.
b f ( x)dx
b
f (u)du
b
f (t)dt
a
a
a
(2)可积条件: (无界不可积)
n
令x 0,
如果极限 lim x0
i 1
f (i )xi
存在,
且与[a,b] 的分法及 i 的取法无关.
则称 f ( x) 在区间[a,b]上可积,并称该极限值 为函数 f ( x)在区间[a,b] 上的定积分.
记作:
b
n
a
f (x) d x lim x0 i1
f (i )xi .
b
a
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2.求做变速直线运动的物体走过的路程
已知 v f (t)
(1)分割
求S ?
a t0 t1 t2 tn1 tn b
n i1 n n
12 22 n2
lim n
n3
O 1 2 i 1i 1 x
(n 1)(2n 1)
lim n
6n2
1. 3
nn
nn
求曲边梯形的面积
首先，我们重复阿基米德的做法： 分割—代替—求和
得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过 程，求出曲边梯形的精确值.
y y f (x)
O a x1
在[a,b] 中任意插入 n 1个分点:
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将 [a,b] 分成 n 个区间 [ xi1, xi ], 区间长
xi
xi
xi1
(i
1,2,,
n),
记
x
max
1 i n
xi
.
n
任取 i [ xi1 , xi ], 作和 f (i )xi .
i 1
f (x) 在[a,b] 上连续;
或f (x) 在[a,b] 上有界, 且仅有有限个 (一类)
间断点.
y
O a c bx
（3）交换积分上、下限，定积分改变符号。
a
b
a
b f (x)dx a fFra Baidu bibliotek(x)dx a f (x)d x 0
保持区间分法 不变, i [xi1, xi ]的取值也不变 .
则由a 往 b 看, xi xi xi1 ;
xi1 xi
b
x
第一步：分划 任意引入分点
a x0 x1 xi1 xi xn1 xn b ,
将[a, b]分 成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2,, n).
用xi xi xi1 表示第 i 个小区间的长度.
第二步：代替
i [xi1, xi ], 则
小曲边梯形面积: Si f (i )xi .
第六章 定积分
第一节 定积分的概念与性质 第二节 定积分的计算 第三节 定积分的应用 第四节 广义积分初步
补充
n
xi x1 x2 xn
i 1
n
n
kxi k xi
i 1
i 1
n
n
n
( xi yi ) xi yi
i 1
i 1
i 1
第一节 定积分的概念与性质
一.定积分的概念 1.求曲边梯形的面积
n
任取 i [ xi1 , xi ], 作和 f (i )xi .
n
n i1
lim
y x0 i 1
f (i )xi
lim
x0
i 1
cxi
c(b a)
yc
O a x1
xi1 xi
b
x
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
ti ti ti1 (i 1,2,, n)
•••
a ti1 i
• ti
• b
(2)代替
Si f (i )ti
n
(3)求和 S f (i )ti
i 1
n
(4)取极限 S
lim t0 i1
f (i )ti
(
t
max
1 i n
ti
)
3.定义 设 f ( x)是定义在[a,b]上的有界函数,