1.4 次序统计量和分布

n
,
yn
)
n!
i 1
f ( yi ), y1
y2 L
yn
0
样本中位数和样本极差
• 设( X1, X2 ,L , Xn )T是来自总体 X 的样本，(X(1), X(2),L , X(n))T
是次序统计量，则样本中位数定义为
X n1 ,
X%
1
2
2
(Xn
2
p
19 7 1 27 27 27
X(2) 0 1 2
p
7 13 7
27 27 27
X(3) 0 1 2
p
1 7 19
27 27 27
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如: X(1) 和X(2) 的联合分布列为
X(1)X(2)
0
1
2
0 7/27 9/27 3/27
F1n ( x, y) P{ X(1) x, X(n) y}
P{X(n) y} P{x X(1) L X(n) y}
n
(F ( y))n P{ x Xi y} (F ( y))n (F ( y) F ( x))n i 1
f1n ( x,
y)
2F1n ( x, xy
1, n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x),
X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
fk ( x)
(k
n! 1)!(n
Байду номын сангаас
(F ( x))k1(1 k)!
F ( x))nk
f
(x)
证明:k 1,n时,直接可得 F1( x) P( X(1) x) 1 P(min( Xi ) x) 1 (1 F( x))n Fn ( x) P( X(n) x) P(max( Xi ) x) (F ( x))n
C
i n
(
F
(
x
))i
(1
F
(
x
))n
i
ik
n!
F ( x) t k1(1 t )nk dt
(k 1)!(n k)! 0
fk ( x)
(Fk ( x))'
(k
n! 1)!(n
(F ( x))k1(1 k)!
F ( x))nk
f
(x)
当k 1, k n时,可得 f1( x) n(1 F ( x))n1 f ( x) fn ( x) n(F ( x))n1 f ( x)
一般地,
用 P{x
X(k)
x x} 表示 X1, X2 ,L
,X
中有
n
一个落在( x, x x], k 1个落在(, x], n k个落在
( x x, )的概率, 则
Fk ( x) P{ x X k x x}
C
1 n
F
(
x
)C
k 1 n1
(F
(
x ))k 1 (1
F
(
x
x ))n k
定理3： ( X(1) , X(n) )的联合分布密度为（连续型)
n(n 1)(F( y) F ( x))n2 f ( x) f ( y), x y
f
X ( 1 ),
X( n )
(
x,
y)
0
x y
证明：当x y时，显然成立。
当x y时{X(n) y} { X(1) x, X(n) y} { X(1) x, X(n) y}
nCnk11(F ( x))k1(1 F ( x))nk f ( x) d x
dFk ( x) nCnk11(F ( x))k1(1 F ( x))nk f ( x)dx
fk (x)
(k
n! 1)!(n
(F ( x))k1(1 k)!
F ( x))nk
f
( x)
证法2
n
Fk ( x) P{ Xk x}
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本, X(i) 称为 该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测 值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中
X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量，
X(n)=maxX1, X2, …, Xn 称为该样本的最大次序统计量。
一二三
000 001 002 010 011 012 020 021 022
一二三
100 101 102 110 111 112 120 121 122
一二三
200 201 202 210 211 212 220 221 222
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X(1) 0 1 2
y)
n(n 0
1)(F (
y)
F ( x))n2
f
(x)
f
(
y)
对n个次序统计量也可给出其联合分布，
定理：设总体 X的密度函数为 f分(x布)
函数为F(x), (X1, X为2,L样, X本n )，T 则次序
统计量 (X(1), X(2),L的, X联(n)合)T 分布密度函数为
f ( y1, y2,L
1
0
4/27 3/27
2
0
0
1/27
因为 P(X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，
因为 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ， 而
P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，
二者不等，由此可看出 X(1) 和 X(2)是不独立的。
三、多个次序统计量的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布， 以两个为例说明：
定理3 次序统计量 (x(i), x(j)), (i j) 的联合分 布密度函数为
pij ( y, z)=
(i
1)!(
j
n! i 1)!(n
[F( j)!
y)]i1[F (z)
F(
y )] j i 1
[1 F (z)]n j p( y) p(z), y z
样本X1, X2,…,Xn 是独立同分布的，而次序统计 量 X(1), X(2),…, X(n) 则既不独立，分布也不相同。
例 设总体X 的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布,分 布列为
x0 1 2
p 1/3 1/3 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种，下表列出了这些值，由此
定理1：次序统计量是充分统计量.
证明：
P( Xi1 x(1) ,L , Xin x(n) | X(1) x(1) ,L , X(n) x(n) )
P( X i1 x(1) ,L , X in x(n) )
P( X(1) x(1) , X(2) x(2) L , X(n) x(n) )