固体物理答案第四章1

2 2
2 3
(
)
= 0.076 × 10 17 J = 7.6 × 10 -19 J = 4.75eV
4.4 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
c = 2.08T + 2.57T 3 毫焦 摩尔 开
若一个摩尔的钾有 N
(
)
= 6 × 10 23 个电子，试求钾的费米温度 个电子，
T F 和德拜温度 ΘD。
h2 k 2 证明： ）处于 状态的自由电子能量为 证明：（1）处于k状态的自由电子能量为 E = ，k为 为 2m 电子波矢。 电子波矢。 当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。 在 时 电子全部占据费密球内各态。
2
2 2 k12 k 2 k3 2 + 2 + 2 m m2 m3 1
能量为E的等能面的方程式可写为 能量为 的等能面的方程式可写为
2 2 k 12 k2 k3 + + =1 2m1 E 2m 2 E 2m 3 E 2 2 2
椭球的体积为
4 2m1 E 2m 2 E 2m 3 E π 2 2 2 3
0 EF E0 = 3
4.7 证明： 证明：
5 E0 4π h 2 k F = （1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度 ） 时 V 5m k 式中， 为费密球半径； 为金属体积 为金属体积。 式中，F 为费密球半径；V为金属体积。
2 E0 3h 2k F = （2）金属中电子的平均能量 ） V 10 m
令
(1)
8π 2 m (2πk )2 = 4π 2 ( k x2 + k y2 + k z2 ) E= 2 h
(2) (3)
ψ ( x , y , z ) = ψ xψ yψ z
代入(1)式可得 代入 式可得
d 2ψ x 2 + (2πk x ) ψ x = 0 dx 2
d 2ψ y dy
2
+ 2πk y ψ y = 0
e e α 解： 低温下，金属摩尔热容量为 CV = CV + CV = νT + bT 3 低温下，
因
0 ν = Zπ 2 R 2TF 12 Rπ 4 b = 5 θ 3 D
R = N 0 k B = 8.31441 J mol k
Z =1
所以
0 π 2 R 2TF = 2.08 12 Rπ 4 5 θ 3 = 2.57 D
d 2ψ 8π 2m + 2 Eψ = 0 2 dx h
令
(1)
8π 2 m 2 E = (2πk ) h2
(2)
从(1)式解得 式解得
ψ = Ae
i 2 π kx
利用周期性边界条件 ψ ( x ) = ψ ( x + L) ，得到
2π n k = , n = 0 , ± 1, ± 2 , … L
可得驻波解为
ψ = A sin( 2πk x x ) sin (2πk y y )sin (2πk z z )
式中波矢的各分量分别为
ny nz nx kx = ,ky = , kz = 2L 2L 2L
(5)
为任意正整数， 也只取正值。 这里 n x , n y , n z 为任意正整数， 因而 k x , k y , k z 也只取正值。 式得知， 由(5)式得知， 间中一个状态代表点所占体积为 式得知 k
4.2 设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由 粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件， 粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密 度的表示式。 度的表示式。 解： 电子在方匣中运动， 电子在方匣中运动，设其势函数V ( x ) = 0 ， 则薛定谔方程 可写为
8π 2 m Eψ = 0 2ψ + 2 h
2 π ny 2 π nx ky = L L 2π k x , k y 轴相邻两代表点的间距为 沿 。 L 2 2π 。 因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为 L 2 L dk 。 在 k ~ k + dk 面积元 dk = dk x dk y 中含有的状态数为 2π
解： 1） （ ）由周期性边界条件得 k x =
第四章 金属自由电子论
4.1 限制在边长为 的正方形中的N个自由电子，电子的能量 限制在边长为L的正方形中的 个自由电子 的正方形中的 个自由电子，
E (k
x
2 , k y )= 2m
(k
2 x
+ k
2 y
)
之间的状态数； （1）求能量 到E+dE之间的状态数； ）求能量E到 之间的状态数 （2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。 ）求此二维系统在绝对零度的费密能量。
π 2 R 3.14 2 × 8.31441 × 10 3 mJ mol k 0 TF = = = 1.97 × 10 4 (k ) 2 2ν 2 × 2.08 mJ mol k
可得
12Rπ θD = 5b
4
13
12 × 8.31441 J mol k × 3.14 = 5 × 2.57 × 10 3 J mol k 4
2 0 EF = 3nπ 2 2m
(
)
2 3
2 体心立方 n = 3 a
m = 9.1 × 10 31 kg
又 = 1.06 × 10 34 J S
a = 3.5 × 10 10 m
所以
E
0 F
(1.06 × 10 ) J =
34 2
2 S 2 × 3 × × 3.14 31 3 10 3 2 × 9.1 × 10 kg 3.5 × 10 m
0 时的费密能级， 式中的 E F 为0K时的费密能级，即T=0K时电子填充的最高 时的费密能级 时电子填充的最高
能级， 能级， 故应有
N=∫
0 EF
0
f ( E ) g( E )dE = ∫
0 EF
0
2 L 2m 4 L 2m dE = h E h
0 EF
因此
E
0 F
h N = 32 m L
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子， 每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中 容纳电子数为
L L dz = 2 dk = 2 2 π kdk 2π 2π
又
2
2
2k2 E= 2m
2k dE = dk m
所以E到E+dE之间的状态数 所以 到 之间的状态数
L2 m L m 4π 2 dE = dE 2 π 2π
从上式可求得电子态在k空间的密度 g( k ) = 从上式可求得电子态在 空间的密度
1 L = k 2π
2k 2 从(2)式又知道 E = 式又知道 2m
(3)
可见能量E是波矢 k 的偶函数， 和 k 对应同一能级，因而 可见能量 是波矢 的偶函数， 对应同一能级， k 在能量区间 E ~ E + dE 内的电子态数
1 1 1 1 × × = L L L V
空间中的状态密度为V， 计入自旋， 因而 k 空间中的状态密度为 ， 计入自旋， ~ E + dE 之间的 E 状态数为
(2m )3 / 2 E 1 / 2 dE dZ = 4πV
h3
g( E ) = dZ dE
故状态密度
(2m )3 / 2 = 4πV
h
3
4.6 已知一维金属晶体共含有 个电子，晶体的长度为L。 已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为 。 个电子 设T=0K，试求 ， (1)电子的能态密度； 电子的能态密度； 电子的能态密度 (2)晶体的费密能级； 晶体的费密能级； 晶体的费密能级 (3)晶体电子的平均能量。 晶体电子的平均能量。 晶体电子的平均能量 解： (1).解一维薛定谔方程 解一维薛定谔方程
1 1 1 1 × × = 2 L 2 L 2 L 8V
V = L3 代表金属体体积。 代表金属体体积。
k 由上式知道， 空间中的状态密度等于8V。 由上式知道， 空间中的状态密度等于 。
因为能量 E ~ E + dE 之间的状态数即是 k 空间中半径在
k ~ k + dk 之间球壳体积的 内所包含的状态数， ，如计 之间球壳体积的1/8内所包含的状态数 这样 内所包含的状态数， 这样，
dZ = g e ( E ) dE = 2 g ( k ) dk =
L
π
dk
(4)
为电子的能态密度。 式中 g e (E ) 为电子的能态密度。 由(3)式得 式得
2 dE = kdk = m
即
2E dk m
1 m dk = dE 2E
代入(4)式 代入 式，成为
L1 m L 2m dZ = g e ( E )dE = dE = dE h E π 2E
i 2π k x x + k y y + k z z
(
)
ny nz nx kx = ,ky = , kz = L L L
n x , n y , n z 取正负整数，电子的能量仍然表示为 取正负整数，
h2k 2 h2 2 2 E= ( k x + k y + k z2 ) = 2m 2m
(7)
式知道， 空间中， 从(7)式知道，在 k 空间中，每个状态代表点所占体积为 式知道
12
12
12
4 (8m1 m 2 m 3 ) E 3 2 = π 3 3
12
V 为晶体体积）。 乘上状态的密度 （V为晶体体积）。 得椭球内所含状态数 为晶体体积 3 4π
V 为 Z ( E ) = 2 3 (8m1 m 2 m 3 )1 2 E 3 2 π
E ~ E + dE 之间的状态数为
V 12 dZ ( E ) = 2 3 (8m1 m 2 m 3 ) E 1 2 dE 2π 2 πV 12 = 3 (8m1 m 2 m 3 ) E 1 2 dE h
入自旋， 入自旋， ~ E + dE 之间的状态数 E
1 2 dZ = 2 × 8V × 4πk dk = 8πk 2Vdk 8
h2k 2 式知道， 从(2)式知道， E = 式知道 2m
于是， 于是， dZ = 4πV
(2m )
3/ 2
h3 2/3 (2m ) E 1 / 2 dZ = 4πV 状态密度为 g ( E ) = dE h3
E 1 / 2 dE
(6)
ψ x ( x + L) = ψ x ( x ) 另一方面， 另一方面，若应用周期性边界条件 ψ y ( y + L) = ψ y ( y ) ψ (z + L) = ψ (z ) z z
则从(3)(4)两式可得行波解 两式可得行波解 则从
ψ = Ae
波矢各分量分别为
2
(
)
(4)
d 2ψ z dz 2
+ (2πk z ) ψ z = 0
2
应用驻波边界条件： 应用驻波边界条件：
ψ (0, y, z ) = ψ ( x ,0, z ) = ψ ( x , y,0) = 0
ψ ( L, y , z ) = ψ ( x , L, z ) = ψ ( x , y , L) = 0
E 1/ 2
(8)
对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求 两式知道， 对比 两式知道 出的状态密度表示式是一样的。 出的状态密度表示式是一样的。
4.3 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对 埃 以电子伏特表示）。 零度时锂的电子气的费米能量 E F (以电子伏特表示）。 以电子伏特表示 解：
2
2
(5)
(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K) 按照定义，电子的平均能量 按照定义
1 E0 = N
∫
0 EF
0
2 L 2m Ef ( E ) g ( E )dE = Nh
∫
0 EF
0
4 L 2m 0 E dE = EF 3 Nh
( )
3 2
利用(5)式化简， 利用 式化简，从上式即得 式化简
2
内的电子数为dN 内的电子数为 （2） E到E+dE内的电子数为 ）在 到
dN = f ( E )dz
在绝对零度时
0 f (E ) = 1
N =∫
则
0 EF
E > EF E < EF
0
L2 m L2 m 0 dE = EF 2 2 π π
π 2 N π 2 h2 N 0 EF = 2 n= = Lm m 4 π mL2
4
13
= 91.1(k )
4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面 某晶体中电子的等能量曲面是椭球面
E (k ) = 2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 2 k12 k 2 k3 2 + 2 + 2 m m2 m3 1
之间的状态数。 求能量E ~ E + dE 之间的状态数。 解： 因为
E (k ) = 2
于是得
L ge (E ) = h
2m E
2 L 2m 计及电子的自旋， 计及电子的自旋，则得到能态密度为 g( E ) = h E
(2).电子服从费密统计。当T=0K时，费密分布函数 电子服从费密统计。 电子服从费密统计 时
0 1 E < EF f (E) = 0 0 E > EF
( (
) )