固体物理第四章总结1

第四章总结成员及分工

1：一维晶格以及三维晶格的振动

2：晶格热容的量子理论

3：简谐近似和简谐坐标

4：晶格的状态方程和热膨胀

5：离子晶体的长波近似

4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络

二、重点

1.格波的概念和“格波”解的物理意义

(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。

(3) q 的取值范围：－(π/a)

这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。

(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Na

q ?=

π2

2.一维单原子链的色散关系

22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=

-=

把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。

3.一维单原子链的运动方程

相邻原子之间的相互作用

βδδ-≈-=d dv

F a

d v d ???? ??=22δβ 第n 个原子的运动方程

11()

(2)

n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ??

+--=+-=

4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解

（1）运动方程( equation)

)2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++?

? )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++?

?

（2）方程的解(solution)

])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ

5.声学波与光学波的概念与物理意义

（1）声学波与光学波的定义

}]sin )(41[1{2

/122

2aq M m mM mM M m +-++=+β

ω }]sin )

(41[1{2/122

2aq M m mM

mM M m +--+=-β

ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格

波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）

（2）两种格波的振幅比

aq m A B cos 222

ββω--

=???

??++

aq m A B cos 222

ββω--

=???

??--

（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数

)()(q a

q --=+ωπ

ω

)()(q a

q ++=+ωπ

ω

其中a

q a

22π

π

≤

?-

6.对色散关系的讨论

（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异

一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：

0)0()(min ==--ωω M

a

βπ

ωω2)2(

)(max =

=-- m a

βπ

ωω2)2(

)(min =

=++ mM

M m )

(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。

（2）声学波的物理本质

声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。

（3）光学波是复式格子特有的

光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性的相对振动

（4）q 的取值

12=Na iq e π22Na

h

q =

7.

在三维晶格中，对于一定的波矢q ，有3个声学波，（3n －3）个光学波。 8. 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 （1）q 空间

“q 空间”亦称为波矢空间(wave vector space)。 （2）q 在波矢空间的密度

分布密度 ＝V ／（2π）3

（3）波矢数和格波数

晶格振动的波矢数＝晶体原胞数

晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 9.三维晶格振动谱的物理意义

（1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。

（2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q ＝0 处有非零的振动频率ω。 三、难点

1． 一维单原子链中原子的运动方程及其解 2． 一维单原子链的色散关系

3． 一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 4． 一维双原子链的色散关系

5． 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 四、基本要求

1． 掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程，以及格波解的物理意

义。

2． 掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及

他们的物理意义 3． 了解三维晶格的振动

4． 掌握q 空间意义及相关性质 五．思考题

从一维双原子链色散关系出发，推导一维单原子链色散关系：

当M ＝m 时，变为单原子链

在考虑到双原子链，原子位置的周期性排列之后得:

4-2 简正坐标

主要内容：一、简谐近似的定义

二、简正坐标的引入与振动模的定义 三、晶格振动和声子

重点：简谐近似和简正坐标 难点：关于声子的本质的理解

一、简谐近似的定义

将N 个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数,忽略二阶以上的高阶

项，则得到

j

i j

i N j i V V μμμμ0231,)(21???=∑

=

体系的势能函数只保留至μi 的二次方程，称为简谐近似（harmonic approximation ）。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用（an-harmonic interaction ）。

注：晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。上式假设平衡位置V0=0.

1

222

2411sin ()m M mM aq mM m M ωβ????+??=±-????+????

??

1222222

2411sin (2)M M aq M M ωβ??????=±-????????

??

1222211sin aq M ωβ????=±-??????

{}221cos aq M βω=±{}221cos aq M

β

ω=

-

二、简正坐标的引入与振动模的定义

为了使问题简化，引入简正坐标 Q1，Q2,…，Q3N ，它与位移坐标μi 之间通过如下

的正交变换形式相联系

j

ij

N

j i i Q

a m ∑==

31

μ

一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模（normal mode ）。

对一个体系来说，只要能找到简正坐标，或是说振动模，则体系的能量以及波函数就可以求解出来了。

对应关系

系统的势能函数 系统的动能函数 系统的哈密顿量

j

i j

i N j i V V μμμμ0231,)(21???=∑

=

三、晶格振动和声子

晶格振动等价于3N 个独立谐振子的振动,因此,晶格振动是这些谐振子能量的总和

i

i N

i n E ω )21(31

+=

∑

=这说明,晶格振动的能量是量子化的,能量的是以ω 为单元变化的.

将晶格振动的能量量子称为为声子(phonon )。声子不是真实的粒子，称为“准粒子”

(quasi-particle )，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。虽然声子是假想的粒子,但理论和实验都已证明,其他粒子与晶格相互作用时,恰似它们与能量为ω ,动量为q 的

粒子作用一样,称q 为声子的准动量.但声子不携带真实的动量. （1）声子不携带真实的动量。 （2）声子的等价性。

（3）决定晶格振动能高低的因素:晶体温度的高低是晶格振动能高低的反映。 （4）温度一定时的平均声子数

23121i

i N i m T ?=∑=μ

H=V+T 231

21i

N i Q T ?=∑=2

231

2

1

i i N

i Q V ω∑

==

)

(212

2231

i i i N i Q p H ω+=∑=（9

在高温时,平均声子数与温度成正比,与频率成反比.温度一定时,频率低

的格波的声子数比频率高的格波的声子数要多.

［声子－声子的相互作用］

（1）非谐作用使晶格振动达到热平衡

非谐作用是晶格振动达到热平衡的最主要的原因。 （2）N 过程和U 过程

4－5 离子晶体的长波近似

主要内容： 一、长光学波的宏观运动方程

二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系） 三、离子晶体的光学性质 四、极化激元的概念

重点： 一 、长光学波的宏观运动方程及系数的推导

二 、LST 关系及两个结论

一、长光学波的宏观运动方程

离子晶体在做长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩），从而可以和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。

对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学格波解。 对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就是我国著名的物理学家黄昆于1951年提出的方法。

黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：1112W b W b E ??=+

（1）

2122P b W b E =+

（2）

这里 P 是宏观极化强度，E

是宏观电场强度。其中，方程（1）是决定离

321q q q ω

ωω =+n G q q q +=+321

子相对振动的动力学方程，称为振动方程。方程（2）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程。 可证明b12＝b21。

系数的确定分为两种情况:

1，静电场情况下，晶体的介电极化

令（1）式中的0W ??= 得 代入方程（2）中得

（3） 因为

（4）

其中ε0为真空中的介电常数，ε（0）为静电介电常数 对比（3）式和（4）式知：

（5）

2，高频电场情况下的介电极化

由W ＝0 带入（3）可得22P b E =

（6）

又因为 可得

由上面可知

且对于长光学振动，有

2

11ω=-b

ω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.

由上面的讨论，我们得到

二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系）

1，横波和纵波满足的方程

1211

b W E b =-

21212222211

()b P b W b E b E

b =+=- 0[(0)1]P E εε=-

00(0)D E P E εεε=+= 11

212220]1)0([b b

b -=-εε0[()1]P E εε=∞-

220]1)([b =-∞εε11

2

12

0)]()0([b b -=∞-εεε2

011ω-=b 022]1)([εε-∞=b 0

2

/102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b

横波满足的方程：

2

11

2

T

T d W

b W dt

=

纵波满足的方程：

22

12

11

2

022

L

L d W b

b W dt b

ε

??

=-

?

+

??

2、横波与纵波的频率比（LST关系）

横波与纵波的频率比

2/1

)

(

)0(

?

?

?

?

?

?

∞

=

ε

ε

ω

ω

TO

LO

这被称作为LST（Lyddano-Sachs-Teller）关

系。

由LST关系，有以下结论：

（1）由于静电介电常数ε（0）一般总是大于高频介电常数ε（∞），所以，长光学纵波的频率ωLO总是大于长光学横波的频率ωTO。

这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的恢复力，从而提高了纵波的频率。极化电场的大小与正负离子的有效电荷有关。一般地，有效电荷越大，两者的差值越大。而对非离子性晶体，横波与纵波频率相同。

（2）当ωTO→0时，ε（0）→∞，这意味着晶体内部出现自极化。把ωTO趋于零的振动模式称为光学软膜。

三、离子晶体的光学性质

正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，引起远红外区的强烈吸收。也就是说，当长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收。在ω＝ω0处有一个吸收峰，宽度为ωr。这意味着横波的光波激励了横光学波的格波。

这实际上就是前面介绍的长光学波在离子晶体中的重要性。也正是由于长光学波的这种特点，一维双原子链色散关系的ω

＋

一支才被称为光学波。

四、极化激元的概念

考虑晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统，将电磁方程和晶格的唯象方程结合，求解得到的振动模实际上就代表了格波和光波的耦合振动模。

不仅格波有这样的耦合模式，等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为极化激元。