大学物理机械振动

Acos(? t ? ? ) ? Acos[ ? (t ? T) ? ? ]
? ? T ? 2?
?
T
?
2? ?
2)频率 ?：单位时间内完成全振 动的次数（ Hz)
? ? 1 , ? ? 2? ? 2??
T
T
6 上一页 下一页
3)角频率 ? ：2?秒内完成全振动的次数 （s-1)
? ? 2? ? 2?? （频率决定谐振动的频繁程度）
若 ?? ? 2k? , k ? 0，? 1，? 2，? 3? ? 时, 称两个振动同相。
若 ? ? ? ?2k ? 1?? , k ? 0，? 1，? 2，? 3? 时, 称两个振动反相。
若?? t ? ?2 ?? ?? t ? ?1 ?，称振动 2超前于振动1。
若?? t ? ?2 ?? ?? t ? ?1 ?，称振动2落后于振动1。
便得
a
?
t图。16
上一页 下一页
三、由初始条件确定动振的振幅和初相。
x ? Acos ?? t ? ? ?,
v ? ? ? Asin ?? t ? ? ?
设t ? 0时，x ? x0，v ? v0
则有???v0x0?
? ?
Acos? ? Asin?
(1) (2)
A?
x02
?
v02
?2
(3)
? ?
cos?
微分方程的解为
? ? ? 0 cos ?? t ? ? ?
8 上一页 下一页
9 上一页 下一页
例: 确定复摆 (? ? 5?)的固有周期 T。
M ? ? mgl sin ? ? ? mgl ?
?
mgl ?
?
J
d 2?
dt 2
o
d 2?
dt 2
?
mgl J
?
?
0
?
转动正向
l
*C
令 ? 2 ? mgl , ? ? mgl
?
?sin? ?
? ?
x0
A v0
?
?A
(4)
( tan? ? ? v0 ) ? x0
注 :1.由(4)确定的?值在 ? ? ~ ?或0 ~ 2?范围内
? ? ? 0同相 x
? ? ? ? π 反相
x
超前
? ? 为其它
落后
x
o
o
o
t
t
t
14 上一页 下一页
x ? Acos?? t ? ? ?
A为位移振幅
v?
dx dt
?
?? Asin ?? t ? ? ??
vm cos( ?
t??
?
?
) 2
vm ? ? A为速度振幅
a
?
d2x dt 2
?
??
2 Acos?? t ? ? ??
两弹簧并联 k ? k1 ? k2
???
k1 x1 x?
? x1
k2 x2 ? x2
x2
?
k1 k1 ? k2
x
d 2x dt 2
?
k m
x
?
0
若k1
?
k2，则k
?
k1 2
若k1 ? k2，则k ? 2k1 11
上一页 下一页
??
k ,
k串 ? k,? 串 ? ? ,
k并 ? k,? 并 ? ?
m
7
上一页 下一页
例 . 确定单摆固有角频率 ? 及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft ? ? mgsin? ?
当?很小时，sin ? ? ?
?
d 2?
dt 2
? g?
l
?0
d 2?
ml dt2 ? ? mg?
?
ml
?l
? et
d 2?
m
dt 2 Ft mg
单摆的小角摆
?? g
l
T ? 2? l
g
动是简谐振动
F ? ? kx
d2x? dt 2
?
2x
?
0
? ? 动力学特点 ?
x ? Acos ?? t ? ? ?
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量 是简谐振动量。
5
上一页 下一页
A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位置的最 大位移的绝对值（ m）
1）周期 T ：完成一次全振动所需时间 (s)
am cos(? t ? ?
??)
am ? ? 2 A为加速度振幅
a ? ?? 2x
15 上一页 下一页
x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
?? ? ?
2
? ? 2?
t3
t
T
?t ? ??
?
来自百度文库?T
t3 t
4
?
? 1,
将x
?
t图左移
T 4
便得v
?
t图，再左移
T 4
3 上一页 下一页
?
Fm
ox
x
弹簧原长时小球所在处 (平衡位置)为坐标原点 .
F
?
? kx ?
d 2x m dt 2
d 2x dt 2
?
k m
x
?
0
令 k ?? 2
m
d2 dt
x
2
?
?
2x
?
0
x ? Acos?? t ? ? ? 振动方程
? 由系统本身性质决定 ,与外界无关。
4 上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
T
对于弹簧振子 : ? ?
k , T ? 2?
m
m, k
?
?
1
2?
k m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情况，由F ? ma或M ? J? ,写出动力学方程 （2）将动力学方程变为dd2t2x ? ? 2x ? 0的形式，
如果能化为这种形式，也就证明了振动为简谐振动。
（3）由动力学方程写出? , 求出周期T或频率?。
第二篇 机械振动和机械波
第四章 机械振动
(6.5.1)
1 上一页 下一页
一、机械振动 ——物体在平衡位置附近的往复运动
m o
（a）单摆
m o
（b ）扭摆
（d）浮体 2 上一页 下一页
(1)、周期性 (2)、有一个平衡位置
(1)、回复力 (2)、惯性
振动——某物理量在定值上下往复变化
二、研究简谐振动的意义 （1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。 （2）复杂的振动是由简谐振动合成的。
12
上一页 下一页
?? t ? ? ?: 相位，或位相，或相 (rad) 相位决定谐振子某
? : t ? 0时的相位, 称为初相. 一瞬时的运动状态
? ? : 相位差 ,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间
?t ?
.
t2
? ? ? (?
?
t1
?
?? ?
t2
?
?
)
?
(?
t1
?
?
)
2） 对于两个 同频率的简谐运动，相位差表示它
们间 步调 上的 差异 .（解决振动合成问题）
? ? ? ?? 2t ? ?2 ?? ?? 1t ? ?1 ?? ?? 2 ? ? 1 ?t ? ??2 ? ?1 ?
当? 2 ? ? 1时，? ? ? ?2 ? ?1
13 上一页 下一页
J
J
T ? 2? ? 2 π ?
J mgl
mg
（ C点为质心）
? ? ? m cos(? t ? ? )
10 上一页 下一页
讨论：已知k1和k2，求两弹簧串联后? 的等效劲度系数。
k1
P
k2 F m
ox
x
F
?
? k2 x2
?
m
d2x dt 2
?
k1k2 k1 ? k2
x
?
d2x m dt 2
两弹簧串联 k ? k1k2 k1 ? k2