定积分的概念

定积分的概念Last revision on 21 December 2020

定积分与微积分定理

1．定积分的概念一般地，设函数()

f x在区间[,]

a b上连续，用分点

将区间[,]

a b等分成n个小区间，每个小区间长度为x

∆（

b a

x

n

-

∆=），在每个小区间

[]

1

,

i i

x x

-

上取一点()

1,2,,

i

i n

ξ=，作和式：

11

()()

n n

n i i

i i

b a

S f x f

n

ξξ

==

-

=∆=

∑∑

如果x

∆无限接近于0（亦即n→+∞）时，上述和式

n

S无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()

f x在区间[,]

a b上的定积分。记为：()

b

a

S f x dx

=⎰

其中()

f x成为被积函数，x叫做积分变量，[,]

a b为积分区间，b积分上限，a积分下限。

说明：（1）定积分()

b

a

f x dx

⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()

b

a

f x dx

⎰，而不是n S．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：

取点[]

1

,

i i i

x x

ξ

-

∈；③求和：

1

()

n

i

i

b a

f

n

ξ

=

-

∑；④取极限：()

1

()lim

n

b

i

a n

i

b a

f x dx f

n

ξ

→∞

=

-

=∑

⎰

（3）曲边图形面积：()

b

a

S f x dx

=⎰；变速运动路程2

1

()

t

t

S v t dt

=⎰；

变力做功()

b

a

W F r dr

=⎰

2．定积分的几何意义

说明：一般情况下，定积分()

b

a

f x dx

⎰的几何意义是介于x轴、函数()

f x的图形以及直线

,

x a x b

==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+

+∆

不妨设1(),(),

,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+

+∆--∆+

+-∆

()b a

f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积） 2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b

a -=⎰1

性质2 ⎰⎰=b

a

b a

dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3 1212[()()]()()b b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4

()()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广：1212[()()()]()()()b b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±⎰

⎰⎰⎰

②推广:12

1

()()()()k

b c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰⎰⎰⎰

③性质解释：

P

C

N M B

A

a

b

O

y

x

y=1

y

x

O

b

a

2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式

定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有

性质1

性质