线性方程组迭代法收敛速度

线性方程组迭代法收敛速度

摘要：迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x k },使其极限向量x *是方程组Ax=b 的精

确解。本实验主要用Jacobi,G_S 和SOR 迭代法解线性方程，认识迭代法的含义以及迭代法初始值和方程组系数矩阵对收敛速度的影响。

关键词：Jacobi,G_S.SOR 迭代法，以及误差分析

0.引言：一个方法是否有效要看得到具有某个精确度的近似解而付出的代价如何，通常

以运算量和储存量的要求为标志。在这个标准下，直接在很多情况下比迭代法号，但是对于大型的稀疏方程组来说，迭代法更适用。 学习迭代法一般有几个问题：（1）如何构造迭代数列？（2）构造迭代数列是否收敛？ 在什么情况下收敛？（3）如果收敛。收敛速度如何，迭代法初始值会对收敛速度有什么影响？

1.实验内容：

用迭代法求解b Ax =，其中20

20⨯∈R A 为五对角矩阵

2020

11

324

11132

241111

34224111134224111134224

11342A ⨯⎫⎛--⎪ ⎪ ---⎪ ⎪ ----⎪ =⎪

⎪

----⎪

⎪ ----⎪ ⎪ ⎪

--⎝⎭

（1）选取不同的初始向量X

)

0(及右端向量b ，给定迭代误差要求，用Jacobi 迭代法和

Gauss-Seidel 迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结

果并得出你的结论。

（2）用SOR 迭代法求上述方程组的解，松驰系数ω取21<<ω的不同值，在

()(1)

510k k X X +-∞

-≤时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结果与松驰系数ω的关系并得

出你的结论。

（3）用MathCAD 指令求出系数矩阵的逆矩阵，再求出上述各个方程组的解，并与上述方法求出的解进行比较。

（1）Jacobi 迭代法内容：对Ax b =求解的一种方法，令A D L U =--，其中[]ij A a =，

1122(,,,)nn D diag a a a = ，

21313212,1000

0n n n n a a a L a a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦

， 1213123

21,0000n n n n a a a a a U a ----⎡⎤⎢⎥--⎢

⎥⎢⎥

=⎢⎥

-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

则方程Ax b =可以写成1k k x Bx g -=+，其中11(),.B D L U g D b --=+=给定一个初始向量0x ，

就可得到一个新的向量10x Bx g =+，以此类推，求出2x ，3x 。这就是所谓的Jacobi 迭代法，其中B 叫做Jacobi 迭代法的迭代矩阵，g 叫做Jacobi 迭代法的常数项。 具体解法如下

Jacobi

跌代结果为

通过观察Jacobi和G-S迭代法都有收敛

ω=

（2）当取 1.1

K A b ,x0,ω,()10=

当取w=1.3 迭代次数为

当w=1.9 迭代次数为

通过比较在w 在增大的情况下，迭代次数也随之增大 （3）通过MathCad 指令计算出

误差分析

纵坐标表示x的精确解Jacobi迭代法的解为

G-S迭代法的解为

SOR迭代法的解为（w2=1.3)

实验结论

1，通过上面的介绍，可以看出Jacobi和G-S有个共同特点就是新的近似解是已知近似解的线性函数，迭代序列的收敛与初始向量的选取和常数项都没有关系

2，SOR迭代法是G-S迭代法的引申和推广，也可看做G-S迭代的加速，当w=1时就是G-S 迭代，而对于一些特殊的问题用带最佳松弛因子的SOR方法是很有效的，我们来看一个具体的例子现假定模型问题中f(x,y)=0.取h=0.05,初始向量x0的分量都取1，精度要求为||x k-x*|| <=10-6则Jacobi方法迭代需要1154次，G-S迭代需要578次，而用w=1.737作为松弛因子的SOR迭代法仅需要54次。

参考文献

【0】徐树芳，高立，张平文，数值线性代数，北京大学出版社，2000。

心得体会

第一次写这样题目，很盲目不知道从何下手，在向同学请教后，然后参考了同学的才开始写的，通过写这个题目对古典迭代法有了更深刻的了解。