高数极限习题

x1 2x 1
x2 1
2.
lim x1 x 1
x2 2x 1
3.
lim
x1
x2 1
4.
lim
x
6
3x4 x4
x 3x
2
5. lim 1 x 1 x0 3 x 3
6.
lim
x1
s
in(x3 x3 1
1)
1 cos2x
7.
lim x0 x sin x
8.
lim (1 2)3x
x
x
9. lim (1 x )2x
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求下列极限：
1.
x2 4 lim
x1 2x 1
x2 1
2.
lim x1 x 1
x2 2x 1
3.
lim
x1
x2 1
4.
lim
x
6
3x4 x4
x 3x
2
5. lim 1 x 1 x0 3 x 3
6.
lim
x1
s
in(x3 x3 1
1)
1 cos2x
x x
1 lim tan x sin x
0. x0
x3
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三、判断下列函数是否有间断点,若有,指出其间断点,并 判断其类型.
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四、设a>0,且 当a取何值时, f (x)在x =0处连续.
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五、设函数f (x)在x =2处连续,且f (2)=3,求
所以
为f (x)的
第二类间断点, 且是无穷间断点.
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(3) 因为
不存在 (因为当 时,
的值在0与1之间无限次振荡),
所以x =0为f (x)的第二类间断点, 且是振荡间断点.
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(4)因为当x<3时, f (x)= x2,所以当x<3时, f (x)为连续函数, 无间断点. 同样, 当x>3时, f (x)= x+6也是连续函数,无间 断点. 下面讨论x=3时的情况. 因为
间断点. 因为
所以x=1为f (x)的第一类间断点,
且是可去间断点.
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因为
所以 为f (x)的第二类间断点,
且是无穷间断点.
(2) 当sinx=0,即
时, f (x)无定义, 所以
是 f (x)的间断点.
因为
所以x=0(k取0)为f (x)的第一类间断点,
且是可去间断点. 因为当k≠0时,
8.设函数f (x)在x =2处连续,且f (2)=3,求 解 因为f (x)在x =2处连续,且f (2)=3, 所以 又因为 所以
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9. 证明方程
至少有一个小于1 的正根 .
证：令
显然f (x)在闭区间[0, 1]上连续, 且
根据介值定理的推论(也称为零点定理) ,在开区间(0, 1)
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3.设
(1) 求单侧极限
和
(2)
是否存在?
(3)
是否存在?
解 (1)
(2) 由(1)知 (3) 存在. 因为
故
不存在.
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4.设 (1) 用10的方幂表示xn ; (2) 求 解 (1)
………… xn 0.9999
(2)
0.9999,
所以 故 f (x)在x =3处连续. 综上所述, 函数 f (x)无间断点, 在(－∞,＋∞)内连续.
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7.设a>0,且
当a取何值时, f (x)在x =0处连续. 解
要使f (x)在x =0处连续, 则
即
得
故当a=1时, f (x)在x =0处连续.
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7.
lim x0 x sin x
8.
lim (1 2)3x
x
x
9. lim (1 x )2x
x x
1 lim tan x sin x
0. x0
x3
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5.设下列极限：
解 (1) (2)
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(3)
(4) 注意到当x→0时, x为无穷小,
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六、证明方程
至少有一个小于1 的正根 .
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知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
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为有界函数, 所以
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(5)
∴ 原式 (6) 注意到当x→0时,
sinx～x, ln(1+4x)～4x,
所以
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6.判断下列函数是否有间断点,若有,指出其间断点,并 判断其类型.
解 (1)
当x=1,
时, f (x)无定义, 所以
是f (x)的
内至少存在一点
使
即 亦即 所以方程
至少有一个小于1 的正根 .
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一、选择题
1.函数
y
x 1
sin x x2
是（
）
A.偶函数； B.奇函数； C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2.lim sin 2 x （
）
x0 x
A.2； B.1； C.0 ；D.3
3.
lim
的极限不存在.
正解 因为当x→0时, x为无穷小,
是有界函数,
所以
仍是无穷小, 从而
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2.判断题 ()
()
(3) 若
存在, 且
则
()
(2) 原因 分开求和的极限只对有限项成立. 正解
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2.判断题 ()
()
(3) 若
存在, 且
则
()
(3) 原因
n
2n
sin
x 2n
A.x； B.1； C.0 ；D.3
4.下列极限计算正确的是（ ）
A.lim (1 1 )x e
1
B.lim (1 x) x e
C.lim x sin 1 1
x0
x
x
x
x
D.lim sin x 1 x x
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二、求Hale Waihona Puke Baidu限
1.
x2 4 lim
习题课
第一章
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1.填空题
0
0
不存在 (填“存在”或“不存在y”)
解 函数y=2x的图形如图所示. 从而可以填出答案. 其中题(5)的右极限由题(3)知不存在.
y 2x
1 ox
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2.判断题 ()
()
(3) 若
存在, 且
则
()
(1) 原因 因为