工程力学：第7章 圆轴扭转
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扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
Me
Me
3
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
Me
Me
4
工 程 实 例
5
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
6
工程中承受切应力的构件
1. 变形几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
28
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G
d
dx
G
d
dx
29
3. 静力学关系： dA
T A dA
O
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
20
§7–4 切应力互等定理和剪切胡克定律
一、切应力互等定理：
对微元abcd：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为剪应力互等定理。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
6.37
(kN m)
12
②求扭矩（扭矩按正方向设）
m2 1 m3 2 m1 3 m4
T1 m2 4.78kN m
n A 1 B 2 C 3D
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T2 m4 6.37kN m
13
③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
24
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
Me
Me
3 扭矩的符号规定：
x
Me
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
10
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
11
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
7
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
8
§7–2
一、传动轴的外力偶矩
扭矩的计算及扭矩图
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
Me
9549
PKW n r / min
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
9
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
21
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
22
二、剪切虎克定律：
23
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
就可以推算出来。 25
§7–5 圆轴扭转时的应力 、强度条件
①变形几何方面
等直圆轴横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式
26
一、等直圆轴扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍平行。
27
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
17
3.结论： ①横截面无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
18
4. 与 的关系：
L R RL
19
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
14
扭转
1.横截面上的内力：扭矩(T)
2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB
MC
MA
MD
解：已知
B
C
A
955N·m 477.5N·m +
D
T
M A 1592N • m M B M C 477.5N • m M D 637N • m
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
31
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55
P1 n
9.55
500 300
A
15.9(kN m)
n
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55
200 300
T
GI p
d
dx
令 Ip A 2dA
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
T
Ip
30
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
作扭矩图如左图示。
-
637N·m
15
§7–3 薄壁圆管扭转时横截面上的切应力
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
16
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
1
第七章 圆 轴 扭 转
§7–1 扭转的概念与实例 §7–2 扭矩的计算及扭矩图 §7–3 薄壁圆管扭转时横截面上的切应力 §7–4 切应力互等定理和剪切胡克定律 §7–5 圆轴扭转时的应力、强度条件
2
§7–1 扭转的概念与实例
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
A
B O
A
BO
Me
Me
3
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A
BO
Me
Me
4
工 程 实 例
5
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
6
工程中承受切应力的构件
1. 变形几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
28
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G
d
dx
G
d
dx
29
3. 静力学关系： dA
T A dA
O
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
20
§7–4 切应力互等定理和剪切胡克定律
一、切应力互等定理：
对微元abcd：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为剪应力互等定理。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
6.37
(kN m)
12
②求扭矩（扭矩按正方向设）
m2 1 m3 2 m1 3 m4
T1 m2 4.78kN m
n A 1 B 2 C 3D
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T2 m4 6.37kN m
13
③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
24
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
Me
Me
3 扭矩的符号规定：
x
Me
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
10
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
11
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
7
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
8
§7–2
一、传动轴的外力偶矩
扭矩的计算及扭矩图
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
Me
9549
PKW n r / min
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
9
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
21
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
22
二、剪切虎克定律：
23
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
就可以推算出来。 25
§7–5 圆轴扭转时的应力 、强度条件
①变形几何方面
等直圆轴横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式
26
一、等直圆轴扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍平行。
27
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
17
3.结论： ①横截面无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
18
4. 与 的关系：
L R RL
19
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
14
扭转
1.横截面上的内力：扭矩(T)
2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB
MC
MA
MD
解：已知
B
C
A
955N·m 477.5N·m +
D
T
M A 1592N • m M B M C 477.5N • m M D 637N • m
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
31
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55
P1 n
9.55
500 300
A
15.9(kN m)
n
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55
200 300
T
GI p
d
dx
令 Ip A 2dA
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
T
Ip
30
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
作扭矩图如左图示。
-
637N·m
15
§7–3 薄壁圆管扭转时横截面上的切应力
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
16
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
1
第七章 圆 轴 扭 转
§7–1 扭转的概念与实例 §7–2 扭矩的计算及扭矩图 §7–3 薄壁圆管扭转时横截面上的切应力 §7–4 切应力互等定理和剪切胡克定律 §7–5 圆轴扭转时的应力、强度条件
2
§7–1 扭转的概念与实例
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。