钢筋混凝土构件的裂缝宽度和挠度计算

【例8.4】某教学楼楼盖中的一根钢筋混凝土简支梁，计 算跨度为l0=7.0m，截面尺寸b×h=250mm×700mm。混 凝土强度等级为C25（Ec=2.8×104N/mm2， ftk=1.78N/mm2），钢筋为HRB335级（Es=2.0×105 N/mm2)。梁上所承受的均布恒荷载标准值（包括梁自重） gk=19.74kN/m,均布活荷载标准值qk=10.50kN/m。按正截 面计算已配置纵向受拉钢筋4φ0As=1256mm2).梁的允许挠 度［f］=l0/250。试验算梁的挠度是否满足要求。 【解】（1） 计算梁跨中的Mk和Mq。 恒荷载标准值产生的跨中最大弯矩： Mgk=1/8gkl02=120.91kN·m
图8.6
(a)M-关系曲线；(b) M-I(B)关系曲线
8.2.2 短期刚度的计算
当弯矩一定时，截面刚度大，变形就小。 钢筋混凝土构件的变形计算（刚度计算）是以 适筋梁第Ⅱ阶段的应力应变状态为依据的，并假定 符合平截面假定。 规范规定，在荷载效应的标准组合作用下钢筋 混凝土受弯构件的短期刚度Bs，应按下式计算：
图8.5 钢筋混凝土受弯构件不需作裂缝宽度验算的最大钢筋直径图
8.1.4 减小裂缝宽度的措施
（1） 改用较小直径的钢筋。钢筋愈细，钢筋与 混凝土之间的粘结作用越明显，lcr减小，wmax也随 之减小。 （2） 宜采用变形钢筋。 （3） 适当增加钢筋用量或增加构件截面使钢筋 应力σsk减小。 （4） 解决裂缝问题的最根本的方法是采用预应 力混凝土结构。
8
钢筋混凝土构件的裂缝宽度 和挠度计算
本章提要
本章主要介绍：受弯构件的挠度计算； 本章主要介绍：受弯构件的挠度计算；钢筋 混凝土构件的裂缝宽度计算。 混凝土构件的裂缝宽度计算。重点是实际挠度计 算和允许挠度的确定， 算和允许挠度的确定，裂缝宽度计算和裂缝允许 值的确定。 值的确定。
规范规定，根据具体使用要求，构件除进行承 载力计算外，尚需进行变形和裂缝宽度计算，把按 规定所求得的变形及裂缝宽度控制在允许值范围内。 它们的设计表达式分别为： wmax≤wlim fmax≤［f］
对受弯、偏心受压和偏心受拉构件，取： Ate=0.5bh+(bf-b)hf 各种形式截面的Ate也可按图8.2取用。 试验表明，有效配筋率愈高，钢筋直径d愈小， 则裂缝愈密，其宽度愈小。 根据试验和理论分析结果，当混凝土保护层厚度 c不大于65mm时，对配置带肋钢筋混凝土构件的平均 裂缝间距lcr按下式计算： lcr=β(1.9c+0.08d/ρte)
8.1.2 裂缝宽度的计算公式
8.1.2.1 平均裂缝间距 cr的计算 平均裂缝间距l
理论分析表明，裂缝间距主要取决于有效配筋率 ρte、钢筋直径d及其表面形状。此外，还与混凝土保 护层厚度c有关。 有效配筋率ρte是指按有效受拉混凝土截面面积Ate 计算的纵向受拉钢筋的配筋率，即： ρte=As/Ate Ate按下列规定取用： 对轴心受拉构件，Ate取构件截面面积。
当裂缝间距小到一定程度后，即使弯矩再增加， 混凝土也不会再出现新的裂缝。这是因为这时钢筋 传给混凝土的拉应力达不到混凝土的抗拉强度ft所致 （图8.1(d)、(e)）。 裂缝出齐后，随着荷载的进一步增加，裂缝处 钢筋的应力增加，受压区高度不断减小，裂缝进一 步开展。
图8.1 裂缝的形成和开展机理
(2) 裂缝宽度验算。 σsk=Nk/As=246.3N/mm2 ρte=As/Ate=0.0287＞0.01 ψ=0.939 wmax=0.287mm＞0.2mm(不满足） =0.287mm 0.2mm( （3） 改配钢筋重新验算。 改配4φ20，As=1256mm2。 σsk=Nk/As=157.64N/mm2 ρte=As/Ate=0.0448 ψ=0.936 wmax=0.166mm＜wlim=0.2mm(满足）
8.2 受弯构件挠度计算 8.2.1 受弯构件挠度计算的特点、原理和方法 受弯构件挠度计算的特点、
由材料力学中可知，承受均布荷载q的简支弹性 匀质梁，其跨中挠度为：
5ql04 5M s l02 f = = 384 EI 48 EI
当梁的材料、截面和跨度一定时，挠度与弯矩之 间呈线性关系，如图8.6(a)中的虚线所示。 钢筋混凝土梁则与匀质弹性梁有很大的区别：钢 筋混凝土梁的挠度与弯矩的关系是非线性的（图8.6(a) 中实线所示）。
图8.3 荷载效应标准组合作用下构件截面的应力状态
8.1.2.3 钢筋应变不均匀系数的计算
由裂缝出现和开展过程的分析中可知，裂缝处和 裂缝间钢筋的应力是不相同的，即不均匀的。规范引 进ψ来表示钢筋应变不均匀。
ψ = 1.1 − 0.65
ρteσ sk
ft k
当算出的ψ＜0.2时，取ψ=0.2；当ψ＞1时，取ψ=1； 对直接承受重复荷载的构件，取ψ=1。
ωmax = α cr
σ sk
Es
(1.9c + 0.08
d eq
ρte
)
【例8.1】某钢筋混凝土屋架下弦按轴心受拉构件设计，其 端节间最大的荷载效应基本组合值N=240kN。荷载效应的 标准组合值Nk=198kN。截面尺寸b×h=200mm×140mm， 混凝土强度等级为C25(ftk=1.78N/mm2），纵筋为HRB335 级钢筋，最大允许裂缝宽度［wmax］=0.2mm，混凝土保护 层c=25mm。试计算该构件的受拉钢筋。 c=25mm 【解】（1） 按承载力要求计算钢筋。 As=N/fy=800mm2 选配4φ16，As=804mm2＞As,min =简化裂缝宽度计算，可根据受弯构件最大裂 缝宽度小于或等于允许裂缝宽度的条件，即：
ωmax = 2.1 ψ
σ sk
Es
(1.9c + 0.08
d eq
ρte
) ≤ ωlim
求出不需作裂缝宽度验算的最大钢筋直径dmax， d 见图8.5。 图8.5是在混凝土保护层c≤25mm，配有变形钢筋 的受弯构件的情形下作出的。 当构件的实际情况与制dmax图的条件不同时，应 对σsk进行调整。
Bs = 6α E ρ 1.15ψ + 0.2 + 1 + 3.5rf′ Es As h02
8.2.3 长期刚度的计算
当构件在持续荷载的作用下，其变形（挠度） 将随时间的增长而不断增长。其变化规律是：先快 后慢，一般要持续变化数年之后才比较稳定。产生 这种现象的主要原因是截面受压区混凝土的徐变。 规范规定，受弯构件的挠度应按荷载效应标准 组合并考虑荷载长期作用影响的刚度B进行计算。 规范规定，受弯构件的刚度B应按下式计算：
σ sk
Es
lcr
图8.4 裂缝处混凝土与钢筋的伸长量
8.1.2.5 最大裂缝宽度的计算
在荷载标准组合作用下，其短期最大裂缝宽度应 等于平均裂缝宽度wm乘以短期裂缝宽度的扩大系数τs。 经统计分析可得：对于轴心受拉构件τs=1.9；对于受 弯构件τs=1.66。短期最大裂缝宽度还需乘上荷载长期 效应裂缝扩大系数τl。 对各种受力构件，规范均取αs1τ1=0.9×1.66 ≈1.5。 这样，各种受力构件正截面最大裂缝宽度的统一计算 公式为：
8.1.2.4 平均裂缝宽度的计算
平均裂缝宽度wm等于混凝土在裂缝截面的回缩量， 即在平均裂缝间距长度内钢筋的伸长量与钢筋处在同 一高度的受拉混凝土纤维伸长量之差（图8.4)：
ωm = ε s lcr − ε c lcr
经分析和试验结果，规范规定，平均裂缝宽度wm 按下式计算：
ωm = 0.85ψ
本章内容
8.1 钢筋混凝土构件裂缝宽度 的计算
8.2 受弯构件挠度计算
8.1 钢筋混凝土构件裂缝宽度的计算 8.1.1 裂缝出现和开展过程
当钢筋混凝土纯弯构件（图8.1）的荷载加到某 一数值时，截面上的弯矩达到开裂弯矩，这时在截 面受拉边最薄弱的地方产生第一条或第一批裂缝， 裂缝出现的位置是随机的。 距裂缝截面愈远的截面回缩愈小，当离开裂缝 某一距离lcr,min的截面B—B′处，混凝土不再回缩。 该处的混凝土拉应力仍与裂缝出现前瞬间的拉应力 相同。于是裂缝截面两侧附近混凝土与钢筋的应力 分布如图8.1(b)、(c)所示。
Mk B = Bs M q (θ − 1) + M k
8.2.4 钢筋混凝土受弯构件挠度的计算
截面的抗弯刚度也是沿梁长方向变化的。弯矩 大的截面抗弯刚度小。 规范规定，在实用计算中采用最小刚度原则进 行计算，即在等截面构件中，可假定各同号弯矩区 段内的刚度相等，并取用该区段内最大弯矩处的刚 度。即在简支梁中取最大正弯矩截面按式（8.14)算 出的刚度作为全梁的抗弯刚度；而在外伸梁中，则 按最大正弯矩和最大负弯矩截面分别按式（8.14)算 出的刚度，作为相应正负弯矩区段的抗弯刚度，见 图8.7所示。
规范规定，钢筋混凝土受弯构件在正常使用极限 状态下的挠度，可根据构件的刚度用结构力学的方法 计算。例如承受均布荷载qk的钢筋混凝土简支梁，其 跨中挠度为（B为构件的抗弯刚度）：
5M k l02 5qk l04 f = = 48 B 384 B
通常用Bs表示钢筋混凝土梁在荷载效应的标准组 合作用下的截面抗弯刚度，简称短期刚度；而用B表 示在荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的截 面抗弯刚度，可简称为长期刚度。
活荷载标准值产生的跨中最大弯矩： Mqk=1/8qkl02=64.31kN·m 由表1.1查得教学楼楼面活荷载准永久值系数ψq=0.5， 故活荷载准永久值在梁的跨中产生的最大弯矩为： 0.5Mqk=0.5×64.31=32.16kN·m 于是，按荷载效应的标准组合作用下的跨中最大弯 矩值为： Mk=Mgk+Mqk=185.22kN·m 按荷载效应的准永久组合作用下的跨中最大弯矩值 为：
【例8.2】某简支梁计算跨度l0=6.0m，截面尺寸 b×h=250mm×700mm，混凝土强度等级为C20，钢筋为 HRB335级，承受均布恒荷载标准值（含梁自重） gk=19.74kN/m，均布活荷载标准值qk=10.5kN/m。经正截面 承载力计算，已配置纵向受拉钢筋为 2φ22+2φ20(As=1388mm2）。该梁处于室内正常环境，试 验算其裂缝宽度是否满足要求。 【解】（1） 求荷载效应的标准组合值下，跨中截面的弯 矩设计值Mk。 恒荷载标准值引起的跨中最大弯矩： Mgk=1/8gkl02=88.83kN·m
图8.2 有效受拉混凝土截面面积
8.1.2.2 裂缝截面处钢筋应力的计算
在荷载效应的标准组合下，钢筋混凝土构件受拉 区纵向钢筋的应力，根据使用阶段的应力状态（图 8.3），可按下式计算： (1) 轴心受拉（图8.3(a))
Nk σ sk = As
(2) 受弯（图8.3(b))
Mk σ sk = 0.87 h0 As
活荷载标准值引起的跨中最大弯矩： Mqk=1/8qkl02=47.25kN·m 则Mk=Mgk+Mqk=88.83+47.25=136.08kN·m (2) 裂缝宽度验算 σsk=Mk/0.87h0As=169.46N/mm2 有效配筋率ρte ρte=As/Ate=0.0159＞0.01 钢筋应变不均匀系数 ψ=0.728 混凝土保护层厚c=25mm，钢筋等效直径d=4As/u =21mm。则wmax=0.198mm＜wlim=0.3mm(满足要求）
图8.5的用法是： ① 判断构件情况（包括c)； ② 计算ρte和σsk； ③ 由ρte和σsk查图8.5得出不需作裂缝宽度验算的 纵筋最大直径dmax； ④ 比较实配纵筋直径与dmax，若d≤dmax时，不需 作裂缝宽度验算；反之，则应作裂缝宽度验算。
【例8.3】一切条件均同例8.2，试用图8.5验算其裂缝宽度 是否满足要求。 【解】由例8.2知c=25mm， σsk=169.46N/mm2, ρte=0.0159。 由以上数据查图8.5得不需作裂缝宽度验算的最大钢筋 直径dmax=22mm，大于本例中钢筋换算直径21mm。故不需 作裂缝宽度验算。