八年级数学下册解题技巧专题利用一次函数解决实际问题强化训练华东师大版

解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题强化训练

明确不同类型图象端点、折点、交点等的意义，并能熟练解决相关问题

?类型一费用类问题

一、建立一次函数模型解决问题（注：列一次函数解析式，再解决问题）

1. （攀枝花中考）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度?若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价收费；若每月用水量超过14吨，则超过

部分每吨按市场价收费.小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水

费42元.

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少；

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，求他家应交水费多少元.

二、分段函数问题

2. （荆州中考）为更新果树品种，某果园计划新购进A, B两个品种的果树苗栽植培育，

若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元，购买B种苗所需费用y（元）

与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用.

三、解决最佳方案或最大利润问题

3. (茂名中考)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划书，以下是活动计划书的部 分信息：

“读书节”活动计划 书

书本类别 A 类

B 类

进价(单位：元)

18

12

备注

1.用不超过16800兀购进A, B 两类图书共1000本；

2. A 类图书不少于600本；

元购买图书，能单独购买 A 类图书的数量恰好比单独购买

B 类图书的数量少10本，请求出

A ,

B 两类图书的标价；

(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销

售方案，A 类图书每本标价降低 a 元(0 v a v 5)销售，B 类图书价格不变， 那么书店应如何进 货才能获得最大利润？

?类型二路程类问题

一、两个一次函数结合的问题 4.

(吉林中考)甲、乙两人利用

不同的交通工具，沿同一路线从

A 地出发前往

B 地，甲

出发1h 后，乙出发，设甲与 A 地相距y 甲(km)，乙与A 地相距y 乙(km)，甲离开A 地的时间 为x (h) ,

y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图所示.

(1) ⑵ 当1 < x W5时，y 乙关于x 的函数解析式为

当乙与A 地相距240km 时，甲与 A 地相距 一、分段函数问题

甲的速度是

km.

⑶

5. (新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家

380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1) 从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？

(2) 求线段AB对应的函数解析式；

(3) 小刚一家出发2.5h离目的地多远？

三、分类讨论思想

6?货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行?轿车出发 2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶?设货车出发x h后，货车、轿车分别到达离甲

地y i km和y2km的地方，图中的线段OA折线BCD盼别表示y i、y2与x之间的函数关系.

(1) 求点D的坐标，并解释点D的实际意义；

(2) 求线段DE所在直线的函数表达式；

(3) 当货车出发_______ h时，两车相距200km.

?类型三工程类问题

一、两个一次函数结合的问题

7.甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x= 2或6时，甲、乙两队所挖管

道长度都相差100米?正确的有__________ (在横线上填写正确的序号)?

、分段函数问题

& (绍兴中考)根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗?某游泳池周五早

上8 00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11: 30全部排完.游泳池内的水量Q m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1) 暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少?

(2) 当2W t < 3.5时，求Q关于t的函数表达式.

参考答案与解析

1 .解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元.依题意得

14m^( 20- 14) n = 49, m= 2,

* 解得*

14m+( 18- 14) n = 42, n = 3.5.

答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元.

(2)当0W x< 14 时，y = 2x;当x> 14 时，y= 14X 2+ (x —14) X 3.5 = 3.5x —21,故所

2x ( 0w x w 14),

求函数关系式为y= *

3.5 x—21 ( x> 14).

(3) ?/26> 14,「.小明家5月份应交水费为3.5 X 26—21 = 70(元).

答：小明家5月份应交水费为70元.

2.解：⑴设y 与x 的函数关系式为y = kx + b .

当 O w x w 20 时，把(0 , 0) , (20, 160)代入 y = kx + b 中，

0 = b , k = 8,

得

解得* 此时y 与x 的函数关系式为y = 8x ;当x > 20时，把(20 ,

160= 20k + b . b = 0.

20k + b = 160, 160) , (40 , 288)代入 y = kx + b 中，得 i

40k + b = 288.

系式为y = 6.4 x + 32.综上所述，y 与x 的函数关系式为y =

(0W x w 20

)， 6.4 x + 32 (x > 20)

⑵?/ B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，?养％

W 35

， 22.5 w x w 35. x > 45— x ,

设总费用为 W 元，贝 U W = 6.4 x + 32+ 7(45 — x ) =— 0.6 x + 347. ?/ k =— 0.6 , ? y 随 x 的增大 而减小，?当x = 35时，总费用最低， W bi = — 0.6 X 35+ 347 = 326(元)，45— x = 10,即当 购买A 种树苗10棵，B 种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为 326元.

—10 =

，化简得540 — 10x = 360,解得x = 18,经检验，x = 18是原方程的解，且符合 1.5 x

题意，则A 类图书的标价为1.5 X 18= 27(元).

答：A 类图书的标价为27元，B 类图书的标价为18元.

(2)设购进A 类图书t 本，总利润为 w 元，A 类图书的标价为(27 — a )元(0 v a v 5)，由 题意得，￡ 1 8t

+ 12 (1000 — t )W 16800

，解得 600w t w 800,总利润 w = (27 — a — 18) t + (18

t > 600.

—12)(1000 — t ) = (9 — a )t + 6(1000 — t ) = 6000+ (3 — a )t .故当 0v a v 3 时，3— a >0，贝U t =800时，总利润最大，且大于 6000元；当a = 3时，3— a = 0，无论t 值如何变化，总利 润均为6000元；当3v a v 5时，3— a v 0，贝U t = 600时，总利润最大，且小于 6000元.

答：当A 类图书每本降价少于 3元时，A 类图书购进800本，B 类图书购进200本时， 利润最大；当 A 类图书每本降价大于等于 3元，小于5元时，A 类图书购进600本，B 类图

书购进400本时，利润最大.

4.解:(1)60

(2) y 乙=90x — 90 解析：当 1W x w5 时，设 y 乙=kx + b ,把(1 , 0)与(5 , 360)代入得

⑶220 解析：???乙与 A 地相距240km,且乙的速度为 360- (5 — 1) = 90(km/h),

240十90= 3(h)，则甲与 A 地相距60X 3 + 1

3 ''.3

5?解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了

4h.

⑵ 设 AB 段图象的函数表达式为

y = kx + b . ??? A(1 , 80) , B (3 , 320)在 AB 上,

解得* k = 6.4

，此时y 与x 的函数关

b = 32.

3.解：(1)设B 类图书的标价为x 元，则A 类图书的标价为

1.5 x 元，根据题意可得

540

x

k

+ b = 0, 5k + b = 360,

k = 90, b = —

则 y 乙=90x — 90.

???乙

用的时间是 =220(km).