简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量

二、简谐振动
熟练掌握
1. 运动方程 x(t) Acos(ω t )
2. 三个特征量
1) 振幅 A 2)周期 T 和频率 v
= 2v = 2 /T 3) 初相位
(t+) 是 t 时刻的相位, 是 t =0 时刻的相位即初相。
速度
加速度
x(t) Acos(ω t ) v Asin(t ) a 2 Acos( t )
A
B
解
O 质点在A，B 两处速率相同，因此两点对称
x
周期 T = 42 = 8
xA 6 cm xB 6 cm
质点由A 到 B，以过原点为t=0 时刻，则v0 > 0，初相 = 3/2 ，
振动方程为
x Acos( 2π t 3π ) 82
t=1 时，质点到 B 点，则
xB
6 Acos( 2π π 82
ห้องสมุดไป่ตู้
A2
A1
O
x
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
= (2n+1)
两运动步调相反 ,称反相
A2
O
x
A1
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距
离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具
有相同的速率；再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。
求 质点运动的周期和振幅。
两个简谐振动 x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
1. 超前和落后
x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )
A2
A1
O
x
2. 同相和反相
x
A1
x1
A2
x2
T
o
- A2
t
-A1
= 2n
两运动步调相同, 称同相
第9章 振动
9.1 简谐振动 9.2 旋转矢量法 9.3 单摆和复摆 9.4 简谐振动的能量 9.5 简谐振动的合成
9.1 简谐振动
一、弹簧振子
1. 受力特点
线性恢复力 F kx
2. 运动方程
据牛顿第二定律得：
若令 ω k m
kx
m
d2 dt
x
2
上式改写为
d2 dt
x
2
2
x
0
解得 x(t) Acos(ω t )
x
v Acos( t π / 2) A sin( t )
a 2 Acos( t )
A 2 cos( t )
圆周运动小球
x Acos(t )
位置
x 轴投影
速度
加速度
坐标
速度 简谐振动物体
加速 度
t 时刻 t +
A
t = 0 时刻
x
o
x
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始 时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向 运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
(A)
A
O
A /2
x
(B)
A /2
O
x
A
A
(C)
O
A /2
x
(D)
A /2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
x =6.0102cos(t /3 /4)，(SI)
（1）振幅、周期、频率及初位相各为多少？ （2）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （3）求质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间。
解：(1)A 6 10 2 m , / 3，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s,
vm = A = 3⇒ = 3
π x = 0.01cos(3t + ) m
2
三、旋转矢量法
如图所示： 矢量 A 绕
原点匀角速 率逆时针旋 转。其端点
在 x轴上的
投影点的运 动为简谐运 动，有：
x Acos(t )
y A x
0
熟练掌握
x
三、旋转矢量法 A
t 时刻
2A
A t
x
A
v ao
t = 0 时刻
角频率
mgh
J
)
振幅 A 6 2 cm
例 物理摆如图所示, 设刚体对轴的转动惯
量为J。设 t = 0 时摆角向右最大为 0。
求 振动频率和振动方程。
解 M J M mghsin
mgh sin 0
J
当 < 5° 时 mgh 0
J
振动方程
0 cos(ω t )
t = 0 时摆角向右最大为 0 ，初相位 = 0
相位反映了物 体某一时刻的
运动状态
3. 由初始条件求振幅和初相位
熟练掌
握
x0 v0
x Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
A
x02
v
2 0
2
初位移 x0 Acos 初速度 v0 ω Asin
tan1( v0 ) x0
注意: 确定 的象限
例： 一质点作简谐振动，速度的最大值 vm 3 cm s-1 ，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有 负最大值，求振动表达式． 解： x = 0.01cos(t + )
/ 4
（2）势能 总能
E p kx 2 / 2, E kA 2 / 2
由题意， kx 2 / 2 kA 2 / 4, x A / 2 4.24102 m
（3）从平衡位置运动到 x A / 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6 / 8 0.75s
五、两个同频率简谐运动的相位关系
1 2
mv 2
1 kA2 sin 2 ( t
2
)
掌握
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
m
2. 势能
Ep
1 2
kx2
1 kA2 cos2( t )
E pmax
1 kA2 2
O
x
2
E pmin 0
3. 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
（简谐振动系统机械能守恒）
例：一质点做谐振动，其振动方程为: