偏微分方程的MATLAB解法

引言

偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用

1.1 MATLAB简介

MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能

数值分析

数值和符号计算

工程与科学绘图

控制系统的设计与仿真

数字图像处理

数字信号处理

通讯系统设计与仿真

财务与金融工程

1.3 优势特点

1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；

2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；

3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；

4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

为用户提供了大量方便实用的处理工具。

1.4 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作

●数值分析 ●数值和符号计算 ●工程与科学绘图 ●控制系统的设计与仿真 ●数字图像处理技术 ●数字信号处理技术 ●通讯系统设计与仿真 ●财务与金融工程

●管理与调度优化计算（运筹学）

MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯 MATLAB 在通讯系统设计与仿真的应用、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。

二、Laplacian 算子简介

Laplacian 算子：

2

2

22y

x ∂∂+∂∂=∆

Poisson 方程(ellipptic)：

f

u =∆

Laplacian 算子的特征值问题：

f

u u =+∆λ

Heat equation(parabolic):u

t u

∆=∂∂

Wave equation(hyperbolic):

u t u ∆=∂∂2

2

五点离散:

h

h

h y x u y x u h y x u y h x u y x u y h x u y x u h 2

2

)

,(),(2),()

,(),(2),(),(-+-++

-+-+=

∆h

P u S u E u W u N u p u h

2

)

(4)()()()()(-+++=

∆

)(=∆

P u h

Poisson 方程离散：

)

()(P f P u h

=∆

特征值问题：

)

()(P P u u k k h λ=-∆

热方程：

)

,()

,,(),,(2

y x u t y x u t y x u h ∆=--+δ

δδ

)

,(),,(),,(y x u t y x u t y x u h ∆+=+δδ

波动方程：

)

,()

,,(),,(2),,(2

y x u t y x u t y x u t y x u h ∆=-+-+δ

δδ

)

,(),,(),,(y x u t y x u t y x u h ∆+=+δδ

波动方程：

)

,()

,,(),,(2),,(2

y x u t y x u t y x u t y x u h ∆=-+-+δ

δδ

)

,(),,(),,(2),,(2

y x u t y x u t y x u t y x u h ∆+--=+δδδδ

椭圆方程：

b Au =

),(2

y x f h b = 特征值方程：

u Au h λ=-21

热方程： )

()

()

1(n n n Au

u

u

σ+=+2h δ

σ=

波动方程：

)()1()()

1(2n n n n Au u u u σ+-=-+2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=h δδ

)()1(n n Mu u =+

热方程： )

()1(n n Mu u =+ A I M σ+=

波动方程：

212

≤

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=h δσ

三、Matlab 解偏微分方程

解偏微分方程不是一件轻松的事情，但是偏微分方程在自然科学和工程领域应用很广，因此，研究解偏微分方程的方法、开发解偏微分方程的工具是数学和计算机领域中的一项重要工作。