偏微分方程的matlab解法共26页

合集下载

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象,并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而,对于广大应用工作者来说,从偏微分方程模型出发,使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量,才能得到数值解。

现在,MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能,能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来;2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化;3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言,使学者易于学习和掌握;4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。

最新偏微分方程的matlab解法

最新偏微分方程的matlab解法

求解双曲型方程的例子
例24.2.1 用 MATLAB 求解下面波动方程定解问题并动态显示解的分布
2u (2u t 2 x2
2u ) 0 y 2
u
|x
1
u
|x1
0,
u y
y 1
u y
y1 0
π
π
u(x,
y, 0)
atan[ sin(
2
x)], ut
( x,
y,
0)
2
cos(πx)
保持在100 °C,板的右边热量从板向环境空气定常流动,
t t 其他边及内孔边界保持绝缘。初始
°C ,于是概括为如下定解问题;
是板的温度为0 0
d u u0 , t
u 1 0 0 ,在 左 边 界 上
u 1, 在 右 边 界 上 n u = 0, 其 他 边 界 上 n
u t to 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。 内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。
第七步:单击Plot菜单中Parameter选项,打开Plot Selection对话框,选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮,显示三维图形解, 如图22.5所示.
第八步:若要画等值线图和矢量场图,单击plot菜单 中parameter 选项,在plot selection对话框中选中 contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮,可显示 解的等值线图和矢量场图,如图2.6所示。
网格划分,细化

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象,并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而,对于广大应用工作者来说,从偏微分方程模型出发,使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量,才能得到数值解。

现在,MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能,能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来;2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化;3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言,使学者易于学习和掌握;4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。

matlab求解偏微分方程组

matlab求解偏微分方程组

matlab求解偏微分方程组偏微分方程组是数学中的重要问题之一,它描述了自然界中许多现象的变化规律。

而matlab作为一种强大的数值计算软件,可以用来求解偏微分方程组,为科学研究和工程应用提供了便利。

在matlab中,求解偏微分方程组可以使用pdepe函数。

pdepe函数是一个用于求解偏微分方程组的通用求解器,可以处理各种类型的偏微分方程组。

它的基本用法是定义一个偏微分方程组的初始条件、边界条件和方程形式,然后调用pdepe函数进行求解。

首先,我们需要定义偏微分方程组的初始条件和边界条件。

初始条件是指在初始时刻各个变量的取值,而边界条件是指在空间上的边界上各个变量的取值。

这些条件可以是数值或函数形式的。

接下来,我们需要定义偏微分方程组的方程形式。

方程形式是指偏微分方程组的具体形式,包括方程的类型、系数和非线性项等。

在matlab中,可以使用函数句柄的形式来定义方程形式。

然后,我们可以调用pdepe函数进行求解。

pdepe函数的基本语法是:sol = pdepe(m,@pdex1,@pdex2,@pdex3,x,t)其中,m是一个表示方程个数的整数,@pdex1、@pdex2和@pdex3分别是定义初始条件、边界条件和方程形式的函数句柄,x和t分别是表示空间和时间的向量。

最后,我们可以通过sol来获取求解结果。

sol是一个包含求解结果的三维数组,其中第一维表示时间,第二维表示空间,第三维表示方程个数。

我们可以通过索引来获取特定时间和空间点的解。

总之,matlab提供了强大的工具来求解偏微分方程组。

通过定义初始条件、边界条件和方程形式,然后调用pdepe函数进行求解,我们可以得到偏微分方程组的数值解。

这为科学研究和工程应用提供了便利,使得我们能够更好地理解和预测自然界中的变化规律。

偏微分方程的MATLAB解法

偏微分方程的MATLAB解法
第五步:选择 Mesh 菜单中 Initialize Mesh 命令,进行网格 剖分。
第六步:选择 Mesh 菜单中 Refine Mesh 命令,对网格加 密。
第七步:选择 Solve 菜单中 Solve PDE 命令,解偏微分方 程并显示图形解。
第八步:单击 Plot 菜单中 Parameters…选项,打开 Plot Selection 对话框,选中 Color,Height(3-D Plot)和 Show mesh 三项.然后单击 Plot 按钮,显示三维图形解。
图 1 结果图
2.2 偏微分方程的 pdetool 解法 2.2.1 pdetool 介绍
pdetool 提供的用户图形界面(GUI)解法的使用步骤如下: (1)在 Matlab 命令窗 口运 行 pdetool,出 现 PDE Toolbox 界面。 (2)用鼠标点一下工具栏上的“PDE”按钮,在弹出的对话 框中定义偏微分方程。 (3)用鼠标点一下工具栏上的区域按钮,在下面的坐标系 中画出偏微分方程的大致定解区域。 (4)双击(3)中画出的大致区域,在弹出的对话框中精确 定位定解区域。 (5)用鼠标点一下工具栏上的边界按钮“坠Ω”,画出区域
可以改写为
22 2 2 2 2 1 ·* 坠
1 坠t
u1 u2
=坠 坠t
2
220.024
2
坠u1 坠x
2
2
2
2220.170
2
坠u2 坠x
2
2
2 2
+2
2
-F(u1-u2)
2 2
F(u1-u2)
22
2
(2)
22 2 2 1
可见 m=0,且 c=
2
220.024

matlab解偏微分方程

matlab解偏微分方程

ui,j +1 − ui,j = Hui,j +1 ∆t Hui,j = a2 ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j (∆x)2
ui,j +1 − ui,j = Hui,j ∆t 将显式与隐式相加,得平均公式 ui,j +1 − ui,j 1 1 = Hui,j + Hui,j +1 ∆t 2 2
得ui,0 = ui,2 − 2ψi
1 ui,2 = [c(ui+1,1 + ui−1,1) + 2(1 − c)ui,1 + 2ψi t] 2
3.3
例题 两端固定的弦振动
两端固定的弦, 初速为零,初位移是 h x, (0 ≤ x ≤ 2/3) 2 / 3 u(x, 0) = 1−x , (2/3 < x ≤ 1) h 1 − 2/3
作图所用程序如下,其中取c = 0.05, l = 1, h = 0.05.这里使用的方程 与初始条件表示方法与上一节相同. N=4000; c=0.05; x=linspace(0,1,420)’; u1(1:420)=0; u2(1:420)=0; u3(1:420)=0; u1(2:280)=0.05/279*(1:279)’; u1(281:419)=0.05/(419-281)*(419-(281:419)’); u2(2:419)=u1(2:419)+c/2*(u1(3:420)-2*u1(2:419)+u1(1:418)); h=plot(x,u1,’linewidth’,3); axis([0,1,-0.05,0.05]); set(h,’EraseMode’,’xor’,’MarkerSize’,18) for k=2:N set(h,’XData’,x,’YData’,u2) ; drawnow; u3(2:419)=2*u2(2:419)-u1(2:419)+c*(u2(3:420)... -2*u2(2:419)+u2(1:418)); u1=u2; u2=u3; end

偏微分方程(PDEs)的MATLAB数值解法

偏微分方程(PDEs)的MATLAB数值解法

偏微分方程的MATLAB求解精讲©MA TLAB求解微分/偏微分方程,一直是一个头大的问题,两个字,“难过”,由于MA TLAB对LaTeX的支持有限,所有方程必须化成MA TLAB可接受的标准形式,不支持像其他三个数学软件那样直接傻瓜式输入,这个真把人给累坏了!不抱怨了,还是言归正传,回归我们今天的主体吧!MA TLAB提供了两种方法解决PDE问题,一是pdepe()函数,它可以求解一般的PDEs,据用较大的通用性,但只支持命令行形式调用。

二是PDE工具箱,可以求解特殊PDE问题,PDEtool有较大的局限性,比如只能求解二阶PDE问题,并且不能解决偏微分方程组,但是它提供了GUI界面,从繁杂的编程中解脱出来了,同时还可以通过File->Save As直接生成M代码一、一般偏微分方程组(PDEs)的MA TLAB求解 (3)1、pdepe函数说明 (3)2、实例讲解 (4)二、PDEtool求解特殊PDE问题 (6)1、典型偏微分方程的描述 (6)(1)椭圆型 (6)(2)抛物线型 (6)(3)双曲线型 (6)(4)特征值型 (7)2、偏微分方程边界条件的描述 (8)(1)Dirichlet条件 (8)(2)Neumann条件 (8)3、求解实例 (9)一、一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB 求解1、pdepe 函数说明MA TLAB 语言提供了pdepe()函数,可以直接求解一般偏微分方程(组),它的调用格式为sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)【输入参数】@pdefun :是PDE 的问题描述函数,它必须换成下面的标准形式(,,)[(,,,)](,,,)()m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x−∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂式1 这样,PDE 就可以编写下面的入口函数 [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)m,x,t 就是对应于(式1)中相关参数,du 是u 的一阶导数,由给定的输入变量即可表示出出c,f,s 这三个函数@pdebc :是PDE 的边界条件描述函数,必须先化为下面的形式(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ 于是边值条件可以编写下面函数描述为 [pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下边界,b 表示下边界@pdeic :是PDE 的初值条件,必须化为下面的形式00(,)u x t u =我们使用下面的简单的函数来描述为 u0=pdeic(x)m,x,t :就是对应于(式1)中相关参数【输出参数】sol :是一个三维数组,sol(:,:,i)表示u i 的解,换句话说u k 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)通过sol ,我们可以使用pdeval()直接计算某个点的函数值2、实例讲解试求解下面的偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ∂∂=−− ∂∂ ∂∂ =−− ∂∂ 其中, 5.7311.46()x x F x e e −=−,且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u ut u t u t t x x∂∂====∂∂【解】(1)对照给出的偏微分方程,根据标注形式,则原方程可以改写为111222120.024()1.*1()0.17u u F u u x u u F u u t t x ∂−−∂∂∂=+ ∂−∂∂∂可见m=0,且1122120.024()1,,1()0.17u F u u x c f s u F u u x ∂−− ∂===∂−∂%% 目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));(2)边界条件改写为12011010.*.*00000u f f u −+=+=下边界上边界%% 边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) %a 表示下边界,b 表示上边界 pa=[0;ua(2)];qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1];(3)初值条件改写为1210u u =%% 初值条件函数function u0=pdeic(x) u0=[1;0];(4)最后编写主调函数 clcx=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numbertitle','off','name','PDE Demo ——by Matlabsky') subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)) title('The Solution of u_1') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U') subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)) title('The Solution of u_2') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U')二、PDEtool 求解特殊PDE 问题MATLAB 的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程,但是惋惜的是只能求解特殊二阶的PDE 问题,并且不支持偏微分方程组!PDE toolbox 支持命令行形式求解PDE 问题,但是要记住那些命令以及调用形式真的很累人,还好MATLAB 提供了GUI 可视交互界面pdetool ,在pdetool 中可以很方便的求解一个PDE 问题,并且可以帮我们直接生成M 代码(File->Save As)。

matlab求解初边值问题的偏微分方程

matlab求解初边值问题的偏微分方程

偏微分方程是描述自然界中动态过程的重要数学工具,在工程领域中,求解偏微分方程是很多实际问题的重要一步。

MATLAB作为一种强大的数学计算软件,提供了丰富的工具和函数来求解各种类型的偏微分方程。

本文将介绍使用MATLAB求解初边值问题的偏微分方程的方法和步骤。

一、MATLAB中的偏微分方程求解工具MATLAB提供了几种可以用来求解偏微分方程的工具和函数,主要包括:1. pdepe函数:用于求解偏微分方程初边值问题的函数,可以处理各种类型的偏微分方程,并且可以自定义边界条件和初始条件。

2. pdepeplot函数:用于绘制pdepe函数求解得到的偏微分方程的解的可视化图形,有助于直观地理解方程的解的特性。

3. pdetool工具箱:提供了一个交互式的图形用户界面,可以用来建立偏微分方程模型并进行求解,适用于一些复杂的偏微分方程求解问题。

二、使用pdepe函数求解偏微分方程初边值问题的步骤对于给定的偏微分方程初边值问题,可以按照以下步骤使用pdepe函数进行求解:1. 定义偏微分方程需要将给定的偏微分方程转化为标准形式,即将偏微分方程化为形式为c(x,t,u)∂u/∂t = x(r ∂u/∂x) + ∂(p∂u/∂x) + f(x,t,u)的形式。

2. 编写边界条件和初始条件函数根据实际问题的边界条件和初始条件,编写相应的函数来描述这些条件。

3. 设置空间网格选择合适的空间网格来离散空间变量,可以使用linspace函数来产生均匀分布的网格。

4. 调用pdepe函数求解偏微分方程将定义好的偏微分方程、边界条件和初始条件函数以及空间网格作为参数传递给pdepe函数,调用该函数求解偏微分方程。

5. 可视化结果使用pdepeplot函数绘制偏微分方程的解的可视化图形,以便对解的性质进行分析和理解。

三、实例分析考虑一维热传导方程初边值问题:∂u/∂t = ∂^2u/∂x^2, 0<x<1, 0<t<1u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, u(x,0) = sin(πx)使用MATLAB求解该初边值问题的步骤如下:1. 定义偏微分方程将热传导方程化为标准形式,得到c(x,t,u) = 1, r = 1, p = 1, f(x,t,u) = 0。

Matlab偏微分方程求解方法

Matlab偏微分方程求解方法

Matlab 偏微分方程求解方法目录:§1 Function Summary on page 10-87§2 Initial Value Problems on page 10-88§3 PDE Solver on page 10-89§4 Integrator Options on page 10-92§5 Examples” on page 10-93§1 Function Summary1.1 PDE Solver” on page 10-871,2 PDE Helper Functi on” on page 10-871.3 PDE SolverThis is the MATLAB PDE solver.PDE Helper Function§2 Initial Value Problemspdepe solves systems of parabolic and elliptic PDEs in one spatial variable x and time t, of the form)xu ,u ,t ,x (s ))x u ,u ,t ,x (f x (x x t u )x u ,u ,t ,x (c m m ∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂- (10-2) The PDEs hold for b x a ,t t t f 0≤≤≤≤.The interval [a, b] must be finite. mcan be 0, 1, or 2, corresponding to slab, cylindrical, or spherical symmetry,respectively. If m > 0, thena ≥0 must also hold.In Equation 10-2,)x /u ,u ,t ,x (f ∂∂ is a flux term and )x /u ,u ,t ,x (s ∂∂ is a source term. The flux term must depend on x /u ∂∂. The coupling of the partial derivatives with respect to time is restricted to multiplication by a diagonal matrix )x /u ,u ,t ,x (c ∂∂. The diagonal elements of this matrix are either identically zero or positive. An element that is identically zero corresponds to an elliptic equation and otherwise to a parabolic equation. There must be at least one parabolic equation. An element of c that corresponds to a parabolic equation can vanish at isolated values of x if they are mesh points.Discontinuities in c and/or s due to material interfaces are permitted provided that a mesh point is placed at each interface.At the initial time t = t0, for all x the solution components satisfy initial conditions of the form)x (u )t ,x (u 00= (10-3)At the boundary x = a or x = b, for all t the solution components satisfy a boundary condition of the form0)xu ,u ,t ,x (f )t ,x (q )u ,t ,x (p =∂∂+ (10-4) q(x, t) is a diagonal matrix with elements that are either identically zero or never zero. Note that the boundary conditions are expressed in terms of the f rather than partial derivative of u with respect to x-x /u ∂∂. Also, ofthe two coefficients, only p can depend on u.§3 PDE Solver3.1 The PDE SolverThe MATLAB PDE solver, pdepe, solves initial-boundary value problems for systems of parabolic and elliptic PDEs in the one space variable x and time t.There must be at least one parabolic equation in the system.The pdepe solver converts the PDEs to ODEs using a second-order accurate spatial discretization based on a fixed set of user-specified nodes. The discretization method is described in [9]. The time integration is done with ode15s. The pdepe solver exploits the capabilities of ode15s for solving the differential-algebraic equations that arise when Equation 10-2 contains elliptic equations, and for handling Jacobians with a specified sparsity pattern. ode15s changes both the time step and the formula dynamically.After discretization, elliptic equations give rise to algebraic equations. If the elements of the initial conditions vector that correspond to elliptic equations are not “consistent” with the discretization, pdepe tries to adjust them before eginning the time integration. For this reason, the solution returned for the initial time may have a discretization error comparable to that at any other time. If the mesh is sufficiently fine, pdepe can find consistent initial conditions close to the given ones. If pdepe displays amessage that it has difficulty finding consistent initial conditions, try refining the mesh. No adjustment is necessary for elements of the initial conditions vector that correspond to parabolic equations.PDE Solver SyntaxThe basic syntax of the solver is:sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)Note Correspondences given are to terms used in “Initial Value Problems” on page 10-88.The input arguments arem: Specifies the symmetry of the problem. m can be 0 =slab, 1 = cylindrical, or 2 = spherical. It corresponds to m in Equation 10-2. pdefun: Function that defines the components of the PDE. Itcomputes the terms f,c and s in Equation 10-2, and has the form[c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx)where x and t are scalars, and u and dudx are vectors that approximate the solution and its partial derivative with respect to . c, f, and s are column vectors. c stores the diagonal elements of the matrix .icfun: Function that evaluates the initial conditions. It has the formu = icfun(x)When called with an argument x, icfun evaluates and returns the initial values of the solution components at x in the column vector u.bcfun:Function that evaluates the terms and of the boundary conditions. Ithas the form[pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t)where ul is the approximate solution at the left boundary xl = a and ur is the approximate solution at the right boundary xr = b. pl and ql are column vectors corresponding to p and the diagonal of q evaluated at xl. Similarly, pr and qr correspond to xr. When m>0 and a = 0, boundedness of the solution near x = 0 requires that the f vanish at a = 0. pdepe imposes this boundary condition automatically and it ignores values returned in pl and ql.xmesh:Vector [x0, x1, ..., xn] specifying the points at which a numerical solution is requested for every value in tspan. x0 and xn correspond to a and b , respectively. Second-order approximation to the solution is made on the mesh specified in xmesh. Generally, it is best to use closely spaced mesh points where the solution changes rapidly. pdepe does not select the mesh in automatically. You must provide an appropriate fixed mesh in xmesh. The cost depends strongly on the length of xmesh. When , it is not necessary to use a fine mesh near to x=0 account for the coordinate singularity.The elements of xmesh must satisfy x0 < x1 < ... < xn.The length of xmesh must be ≥3.tspan:Vector [t0, t1, ..., tf] specifying the points at which a solution is requested for every value in xmesh. t0 and tf correspond tot and f t,respectively.pdepe performs the time integration with an ODE solver that selects both the time step and formula dynamically. The solutions at the points specified in tspan are obtained using the natural continuous extension of the integration formulas. The elements of tspan merely specify where you want answers and the cost depends weakly on the length of tspan.The elements of tspan must satisfy t0 < t1 < ... < tf.The length of tspan must be ≥3.The output argument sol is a three-dimensional array, such that•sol(:,:,k) approximates component k of the solution .•sol(i,:,k) approximates component k of the solution at time tspan(i) and mesh points xmesh(:).•sol(i,j,k) approximates component k of the solution at time tspan(i) and the mesh point xmesh(j).4.2 PDE Solver OptionsFor more advanced applications, you can also specify as input arguments solver options and additional parameters that are passed to the PDE functions.options:Structure of optional parameters that change the default integration properties. This is the seventh input argument.sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options)See “Integrator Options” on page 10-92 for more information.Integrator OptionsThe default integration properties in the MATLAB PDE solver are selected to handle common problems. In some cases, you can improve solver performance by overriding these defaults. You do this by supplying pdepe with one or more property values in an options structure.sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options)Use odeset to create the options structure. Only those options of the underlying ODE solver shown in the following table are available for pdepe.The defaults obtained by leaving off the input argument options are generally satisfactory. “Integrator Options” on page 10-9 tells you how to create the structure and describes the properties.PDE Properties§4 Examples•“Single PDE” on page 10-93•“System of PDEs” on page 10-98•“Additional Examples” on page 10-1031.Single PDE• “Solving the Equation” on page 10-93• “Evaluating the Solution” on page 10-98Solving the Equation. This example illustrates the straightforward formulation, solution, and plotting of the solution of a single PDE222x u t u ∂∂=∂∂π This equation holds on an interval 1x 0≤≤ for times t ≥ 0. At 0t = the solution satisfies the initial condition x sin )0,x (u π=.At 0x =and 1x = , the solution satisfies the boundary conditions0)t ,1(xu e ,0)t ,0(u t =∂∂+π=- Note The demo pdex1 contains the complete code for this example. The demo uses subfunctions to place all functions it requires in a single MATLAB file.To run the demo type pdex1 at the command line. See “PDE Solver Syntax” on page 10-89 for more information. 1 Rewrite the PDE. Write the PDE in the form)xu ,u ,t ,x (s ))x u ,u ,t ,x (f x (x x t u )x u ,u ,t ,x (c m m ∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂- This is the form shown in Equation 10-2 and expected by pdepe. For this example, the resulting equation is0x u x x x t u 002+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂π with parameter and the terms 0m = and the term0s ,xu f ,c 2=∂∂=π=2 Code the PDE. Once you rewrite the PDE in the form shown above (Equation 10-2) and identify the terms, you can code the PDE in a function that pdepe can use. The function must be of the form[c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx)where c, f, and s correspond to the f ,c and s terms. The code below computes c, f, and s for the example problem.function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)c = pi^2;f = DuDx;s = 0;3 Code the initial conditions function. You must code the initial conditions in a function of the formu = icfun(x)The code below represents the initial conditions in the function pdex1ic. Partial Differential Equationsfunction u0 = pdex1ic(x)u0 = sin(pi*x);4 Code the boundary conditions function. You must also code the boundary conditions in a function of the form[pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t) The boundary conditions, written in the same form as Equation 10-4, are0x ,0)t ,0(x u .0)t ,0(u ==∂∂+and1x ,0)t ,1(xu .1e t ==∂∂+π- The code below evaluates the components )u ,t ,x (p and )u ,t ,x (q of the boundary conditions in the function pdex1bc.function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)pl = ul;ql = 0;pr = pi * exp(-t);qr = 1;In the function pdex1bc, pl and ql correspond to the left boundary conditions (x=0 ), and pr and qr correspond to the right boundary condition (x=1).5 Select mesh points for the solution. Before you use the MATLAB PDE solver, you need to specify the mesh points at which you want pdepe to evaluate the solution. Specify the points as vectors t and x.The vectors t and x play different roles in the solver (see “PDE Solver” on page 10-89). In particular, the cost and the accuracy of the solution depend strongly on the length of the vector x. However, the computation is much less sensitive to the values in the vector t.10 CalculusThis example requests the solution on the mesh produced by 20 equally spaced points from the spatial interval [0,1] and five values of t from thetime interval [0,2].x = linspace(0,1,20);t = linspace(0,2,5);6 Apply the PDE solver. The example calls pdepe with m = 0, the functions pdex1pde, pdex1ic, and pdex1bc, and the mesh defined by x and t at which pdepe is to evaluate the solution. The pdepe function returns the numerical solution in a three-dimensional array sol, wheresol(i,j,k) approximates the kth component of the solution,u, evaluated atkt(i) and x(j).m = 0;sol = pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);This example uses @ to pass pdex1pde, pdex1ic, and pdex1bc as function handles to pdepe.Note See the function_handle (@), func2str, and str2func reference pages, and the @ section of MATLAB Programming Fundamentals for information about function handles.7 View the results. Complete the example by displaying the results:a Extract and display the first solution component. In this example, the solution has only one component, but for illustrative purposes, the example “extracts” it from the three-dimensional array. The surface plot shows the behavior of the solution.u = sol(:,:,1);surf(x,t,u)title('Numerical solution computed with 20 mesh points') xlabel('Distance x') ylabel('Time t')Distance xNumerical solution computed with 20 mesh points.Time tb Display a solution profile at f t , the final value of . In this example,2t t f ==.figure plot(x,u(end,:)) title('Solution at t = 2') xlabel('Distance x') ylabel('u(x,2)')Solutions at t = 2.Distance xu (x ,2)Evaluating the Solution. After obtaining and plotting the solution above, you might be interested in a solution profile for a particular value of t, or the time changes of the solution at a particular point x. The kth column u(:,k)(of the solution extracted in step 7) contains the time history of the solution at x(k). The jth row u(j,:) contains the solution profile at t(j). Using the vectors x and u(j,:), and the helper function pdeval, you can evaluate the solution u and its derivative at any set of points xout [uout,DuoutDx] = pdeval(m,x,u(j,:),xout)The example pdex3 uses pdeval to evaluate the derivative of the solution at xout = 0. See pdeval for details.2. System of PDEsThis example illustrates the solution of a system of partial differential equations. The problem is taken from electrodynamics. It has boundary layers at both ends of the interval, and the solution changes rapidly for small . The PDEs are)u u (F xu017.0t u )u u (F xu 024.0t u 212222212121-+∂∂=∂∂--∂∂=∂∂ where )y 46.11exp()y 73.5exp()y (F --=. The equations hold on an interval1x 0≤≤ for times 0t ≥.The solution satisfies the initial conditions0)0,x (u ,1)0,x (u 21≡≡and boundary conditions0)t ,1(xu,0)t ,1(u ,0)t ,0(u ,0)t ,0(x u 2121=∂∂===∂∂ Note The demo pdex4 contains the complete code for this example. The demo uses subfunctions to place all required functions in a single MATLAB file. To run this example type pdex4 at the command line.1 Rewrite the PDE. In the form expected by pdepe, the equations are⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡)u u (F )u u (F )x /u 170.0)x /u (024.0x u u t *.1121212121 The boundary conditions on the partial derivatives of have to be written in terms of the flux. In the form expected by pdepe, the left boundary condition is⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00)x /u (170.0)x /u (024.0*.01u 0212and the right boundary condition is⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00)x /u (170.0)x /u (024.0*.1001u 2112 Code the PDE. After you rewrite the PDE in the form shown above, you can code it as a function that pdepe can use. The function must be of the form[c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx)where c, f, and s correspond to the , , and terms in Equation 10-2. function [c,f,s] = pdex4pde(x,t,u,DuDx)c = [1; 1];f = [0.024; 0.17] .* DuDx;y = u(1) - u(2);F = exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);s = [-F; F];3 Code the initial conditions function. The initial conditions function must be of the formu = icfun(x)The code below represents the initial conditions in the function pdex4ic. function u0 = pdex4ic(x);u0 = [1; 0];4 Code the boundary conditions function. The boundary conditions functions must be of the form[pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t)The code below evaluates the components p(x,t,u) and q(x,t) (Equation 10-4) of the boundary conditions in the function pdex4bc.function [pl,ql,pr,qr] = pdex4bc(xl,ul,xr,ur,t)pl = [0; ul(2)];ql = [1; 0];pr = [ur(1)-1; 0];qr = [0; 1];5 Select mesh points for the solution. The solution changes rapidly for small t . The program selects the step size in time to resolve this sharp change, but to see this behavior in the plots, output times must be selected accordingly. There are boundary layers in the solution at both ends of [0,1], so mesh points must be placed there to resolve these sharp changes. Often some experimentation is needed to select the mesh that reveals the behavior of the solution.x = [0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];t = [0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2];6 Apply the PDE solver. The example calls pdepe with m = 0, the functions pdex4pde, pdex4ic, and pdex4bc, and the mesh defined by x and t at which pdepe is to evaluate the solution. The pdepe function returns the numerical solution in a three-dimensional array sol, wheresol(i,j,k) approximates the kth component of the solution, μk, evaluated at t(i) and x(j).m = 0;sol = pdepe(m,@pdex4pde,@pdex4ic,@pdex4bc,x,t);7 View the results. The surface plots show the behavior of the solution components. u1 = sol(:,:,1); u2 = sol(:,:,2); figure surf(x,t,u1) title('u1(x,t)') xlabel('Distance x') 其输出图形为Distance xu1(x,t)Time tfigure surf(x,t,u2) title('u2(x,t)') xlabel('Distance x') ylabel('Time t')Distance xu2(x,t)Time tAdditional ExamplesThe following additional examples are available. Type edit examplename to view the code and examplename to run the example.。

Matlab求解微分方程及偏微分方程

Matlab求解微分方程及偏微分方程

第四讲Matlab求解微分方程(组)理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令求解实例:Matlab求解微分方程(组)实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程,绝大多数都是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少.另一方面,能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程(组).这就要求我们必须研究微分方程(组)的解法:解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中,用大写字母D表示导数,Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数,依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程(组)的求解问题,调用格式为:X=dsolve(<eqnl,,,eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解.注意,系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法,也称为常微分方程的符号解. 但是,有大量的常微分方程虽然从理论上讲,其解是存在的,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程的数值解,在求常微分方程数值解方面,MATLAB具有丰富的函数,我们将其统称为solver,其一般格式为:[T,Y]=solver(odefun,tspan,yO)说明:(1 )solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.(2)odefun是显示微分方程),=f (t,y)在积分区间tspan =[心心]上从心到“用初始条件儿求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解,则令(span = 『“,•••『/■](要单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题,为此,Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题,采用不同的solver.程(组)的初值问题的解的Matlab常用程序,其中:ode23采用龙格-库塔2阶算法,用3阶公式作误差估计来调节步长,具有低等的精度.。

matlab 求解偏微分方程组

matlab 求解偏微分方程组

一、介绍Matlab是一种强大的数学计算工具,用于解决各种数学问题,包括求解偏微分方程组。

偏微分方程组是描述自然界中许多物理现象的数学模型,其求解对于科学研究和工程应用具有重要意义。

在Matlab中,可以通过多种方法来求解偏微分方程组,包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。

本文将对Matlab中求解偏微分方程组的方法进行介绍和讨论。

二、有限差分方法有限差分方法是一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。

其基本思想是将连续的变量离散化为有限个点,并利用差分逼近来近似偏微分方程的导数。

在Matlab中,可以通过编写相应的差分方程组来求解偏微分方程组。

对于二维热传导方程,可以将偏导数用中心差分逼近,并构建相应的差分方程来求解温度分布。

通过循环迭代的方式,可以逐步逼近偏微分方程的解,并得到数值解。

三、有限元方法有限元方法是另一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。

其基本思想是将求解区域离散化为有限个单元,并在每个单元内建立近似函数来逼近原始方程。

在Matlab中,可以利用有限元建模工具箱来构建离散化的网格,并编写相应的有限元方程来求解偏微分方程组。

对于弹性力学方程,可以利用有限元方法来求解结构的位移和应力分布。

通过求解线性方程组,可以得到离散化网格上的数值解。

四、谱方法谱方法是一种利用特定基函数展开偏微分方程解的方法。

其基本思想是选取适当的基函数,并通过展开系数来得到偏微分方程的数值解。

在Matlab中,可以通过谱方法工具箱来实现对偏微分方程组的求解。

对于波动方程,可以利用正交多项式展开来逼近波函数,通过选取适当的基函数和展开系数,可以得到偏微分方程的数值解。

五、总结在Matlab中,有多种方法可以用来求解偏微分方程组,包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。

这些方法各有特点,适用于不同类型的偏微分方程和求解问题。

通过合理地选择方法和编写相应的数值算法,可以在Matlab中高效地求解偏微分方程组,为科学研究和工程应用提供重要支持。

matlab求解最简单的一阶偏微分方程

matlab求解最简单的一阶偏微分方程

matlab求解最简单的一阶偏微分方程【原创版】目录一、引言二、什么是偏微分方程三、MATLAB 求解偏微分方程的方法四、一阶偏微分方程的解法示例五、结论正文一、引言MATLAB 是一种广泛使用的数学软件,它可以帮助我们解决各种数学问题,包括偏微分方程。

偏微分方程是一种重要的数学模型,它在物理、工程和数学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍如何使用 MATLAB 求解最简单的一阶偏微分方程。

二、什么是偏微分方程偏微分方程是一种描述未知函数与多个自变量之间关系的方程,它是多元函数的导数与函数之间的关系。

偏微分方程可以根据其阶数进行分类,例如一阶偏微分方程、二阶偏微分方程等。

三、MATLAB 求解偏微分方程的方法MATLAB 提供了多种求解偏微分方程的方法,包括使用符号计算、有限元分析和偏微分方程工具箱等。

对于一阶偏微分方程,我们可以使用MATLAB 的 ode45、ode15s 等命令求解。

四、一阶偏微分方程的解法示例我们以一个简单的一阶偏微分方程为例,说明如何使用 MATLAB 求解。

假设有一个一阶偏微分方程:dx/dt = x + 3t,我们需要求解该方程在 t 从 0 到 10 的解。

首先,我们需要设置定解问题,即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数。

然后,使用 MATLAB 的 ode45 命令求解该偏微分方程。

具体地,我们可以在 MATLAB 中输入以下命令:```matlab% 定义方程的系数和常数项a = 1;b = 1;c = 3;% 定义定解问题的边界条件t0 = 0;t1 = 10;y0 = 0;% 使用 ode45 求解偏微分方程[~, x] = ode45(@(t, x) a*x + b*t + c, [t0, t1], y0);```最后,我们可以使用 MATLAB 的 plot 命令绘制解的图像,以便于观察解的变化情况。

五、结论MATLAB 是一种强大的数学软件,可以帮助我们轻松地求解偏微分方程。

matlab差分法解偏微分方程

matlab差分法解偏微分方程

Matlab 差分法解偏微分方程1.引言解偏微分方程是数学和工程领域中的一项重要课题,它在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

而 Matlab 差分法是一种常用的数值方法,用于求解偏微分方程。

本文将介绍 Matlab 差分法在解偏微分方程中的应用,包括原理、步骤和实例。

2. Matlab 差分法原理差分法是一种离散化求解微分方程的方法,通过近似替代微分项来求解微分方程的数值解。

在 Matlab 中,差分法可以通过有限差分法或者差分格式来实现。

有限差分法将微分方程中的导数用有限差分替代,而差分格式指的是使用不同的差分格式来近似微分方程中的各个项,通常包括前向差分、后向差分和中心差分等。

3. Matlab 差分法步骤使用 Matlab 差分法解偏微分方程一般包括以下步骤:(1)建立离散化的区域:将求解区域离散化为网格点或节点,并确定网格间距。

(2)建立离散化的时间步长:对于时间相关的偏微分方程,需要建立离散化的时间步长。

(3)建立离散化的微分方程:使用差分法将偏微分方程中的微分项转化为离散形式。

(4)建立迭代方程:根据离散化的微分方程建立迭代方程,求解数值解。

(5)编写 Matlab 代码:根据建立的迭代方程编写 Matlab 代码求解数值解。

(6)求解并分析结果:使用 Matlab 对建立的代码进行求解,并对结果进行分析和后处理。

4. Matlab 差分法解偏微分方程实例假设我们要使用 Matlab 差分法解决以下一维热传导方程:∂u/∂t = α * ∂^2u/∂x^2其中 u(x, t) 是热传导方程的温度分布,α 是热扩散系数。

4.1. 离散化区域和时间步长我们将求解区域离散化为网格点,分别为 x_i,i=1,2,...,N。

时间步长为Δt。

4.2. 离散化的微分方程使用中心差分格式将偏微分方程中的导数项离散化得到:∂u/∂t ≈ (u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt∂^2u/∂x^2 ≈ (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^2代入原偏微分方程可得离散化的微分方程:(u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt = α * (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^24.3. 建立迭代方程根据离散化的微分方程建立迭代方程:u_i(t+Δt) = u_i(t) + α * Δt * (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^24.4. 编写 Matlab 代码使用以上建立的迭代方程编写 Matlab 代码求解热传导方程。

使用matlab差分法解偏微分方程

使用matlab差分法解偏微分方程

使用matlab差分法解偏微分方程1. 引言差分法是一种常用的数值方法,用于求解偏微分方程(Partial Differential Equations,简称PDE)的数值解。

在工程学和科学研究中,PDE广泛应用于描述各种物理现象和过程。

本文将介绍使用MATLAB差分法来解偏微分方程的方法和步骤,并探讨其优势和局限性。

2. 差分法简介差分法是一种基于离散点的数值求解方法,它将连续的空间或时间变量离散化为有限个点,通过对这些离散点上的方程进行逼近,得到PDE的数值解。

其中,MATLAB作为一种功能强大的数值计算工具,提供了快速而高效的差分法求解PDE的功能。

3. 二阶偏微分方程的差分方法在本节中,我们将以一个简单的二阶偏微分方程为例,说明如何使用差分法来解决。

考虑一个二维的泊松方程,即:∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中,u是未知函数,f(x, y)是已知函数。

为了使用差分法求解该方程,我们需要将空间离散化,假设网格步长为Δx和Δy。

我们可以使用中心差分法来逼近二阶导数,从而将偏微分方程转化为一个代数方程组。

在MATLAB中,我们可以通过设置好网格步长和边界条件,构建对应的代数方程组,并使用线性代数求解方法(如直接解法或迭代解法)获得数值解。

4. 差分法的优势和局限性差分法作为一种数值方法,具有许多优势和应用范围,但也存在一些局限性。

优势:- 简单易懂:差分法的思想直观明了,易于理解和实现。

- 适应性广泛:差分法可以用于求解各种类型的偏微分方程,包括常微分方程和偏微分方程。

- 准确度可控:通过调整网格步长,可以控制数值解的精度和稳定性。

局限性:- 离散误差:当空间或时间步长过大时,差分法的数值解可能会出现较大的离散误差。

- 边界条件:合适的边界条件对于差分法的求解结果至关重要,不合理的边界条件可能导致数值解的不准确。

- 计算效率:对于复杂的偏微分方程,差分法的计算成本可能较高,需要耗费大量的计算资源和时间。

偏微分方程—matlab

偏微分方程—matlab

基础知识偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常(即不随时间变化)过程,都可用椭圆型方程来描述。

其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ (1) 特别地,当 f ( x , y ) ≡ 0 时,即为拉普拉斯(Laplace)方程,又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=∆yu x u u (2) 带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布,不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。

Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y u x u u y x ϕ (3) 其 中 Ω 为 以 Γ 为 边 界 的 有 界区 域 , Γ 为 分 段 光 滑 曲 线, Ω U Γ 称 为 定 解区 域 ,f (x, y),?(x, y) 分别为 Ω,Γ 上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示成)0(0),(>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈a u n u y x α (4) 其中 n 为边界 Γ 的外法线方向。

当α = 0 时为第二类边界条件,α ≠ 0 时为第三类边界条件。

在研究热传导过程,气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时,常常会遇到抛物型方程。

其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂-∂∂a xu a t u (5) 方程(5)可以有两种不同类型的定解问题:初值问题(也称为 Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a t u )()0,(,0022ϕ (6) 初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<===<<<<=∂∂-∂∂l x t g t l u t g t u x x u l x T t x u a t u 0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ (7) 其中? )(),(),(21x g x g x ϕ为已知函数,且满足连接条件问题(7)中的边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类界条件。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相关文档
最新文档