高等数学课件上第41不定积分
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高等数学课件上第41不定积分
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
(P183)
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
提示: chxexex , shxexex
2
2
(P191题4)
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示: f(x)(ex)ex f (lnx) elnx 1 x
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3. 若 f (x) 是 e x 的原函数 , 则
f(xl x )n d x1xC0lnx C
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 证明 1 2e2x,exsh x,excx h都是 chxexshx的原函.
x (1 x2) x(1 x2)
dx
1
1 x2
dx
1 x
d
x
arcxtalnnx C
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例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: y2x
y2xdxx2 C
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
212C C1 因此所求曲线为 yx2 1
y (1, 2)
Hale Waihona Puke Baidu
o
x
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例2. 质点在距地面 x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
exdx ex C
C 称为积分常数
x2dx
1 3
x3
C
不可丢 !
sinxdx co x C s
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不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
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1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
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(1)0sextcaxd n xsex cC
(1)1csxcco xdxt cs x c C
x
xx(t)
x0x(0) o
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先求 v(t). 由 d v g , 知 dt
v(t) (g)dtgtC1
x
xx(t)
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
再求
x(t).
由
dx dt
v(tg)tv0, 知
x0x(0)
o
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x(t) 1 2gt2 v0 tx0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f
(x)dx
f(x)或
d
f
(x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P186)
利用逆向思维
(1)2 exdxex C (1)3 axdx a x C
ln a
(1)4 shxdxch xC
shxex ex 2
chxex ex 2
(1)5chxdxshxC
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例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
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(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
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三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
i1 n
f(x)dxkifi(x)dx i1
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例5. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 = [2 (e)x52x)dx
提示: 已知 f(x)ex
f(x) e x C 0 f(lnx)1xC0 f(xlnx)x12Cx0
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4. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ;
(C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
设时刻 t 质点所在位置为 xx(t), 则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
( 2 e ) x 5 2 x C ln( 2 e ) ln 2
2xlne2x1l5n2C
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例6. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
se2xcdxdx ta x x n C
例7. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
(P183)
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
提示: chxexex , shxexex
2
2
(P191题4)
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示: f(x)(ex)ex f (lnx) elnx 1 x
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3. 若 f (x) 是 e x 的原函数 , 则
f(xl x )n d x1xC0lnx C
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 证明 1 2e2x,exsh x,excx h都是 chxexshx的原函.
x (1 x2) x(1 x2)
dx
1
1 x2
dx
1 x
d
x
arcxtalnnx C
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例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: y2x
y2xdxx2 C
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
212C C1 因此所求曲线为 yx2 1
y (1, 2)
Hale Waihona Puke Baidu
o
x
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例2. 质点在距地面 x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
exdx ex C
C 称为积分常数
x2dx
1 3
x3
C
不可丢 !
sinxdx co x C s
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不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
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1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
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(1)0sextcaxd n xsex cC
(1)1csxcco xdxt cs x c C
x
xx(t)
x0x(0) o
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先求 v(t). 由 d v g , 知 dt
v(t) (g)dtgtC1
x
xx(t)
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
再求
x(t).
由
dx dt
v(tg)tv0, 知
x0x(0)
o
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x(t) 1 2gt2 v0 tx0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f
(x)dx
f(x)或
d
f
(x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P186)
利用逆向思维
(1)2 exdxex C (1)3 axdx a x C
ln a
(1)4 shxdxch xC
shxex ex 2
chxex ex 2
(1)5chxdxshxC
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例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
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(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
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三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
i1 n
f(x)dxkifi(x)dx i1
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例5. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 = [2 (e)x52x)dx
提示: 已知 f(x)ex
f(x) e x C 0 f(lnx)1xC0 f(xlnx)x12Cx0
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4. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ;
(C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
设时刻 t 质点所在位置为 xx(t), 则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
( 2 e ) x 5 2 x C ln( 2 e ) ln 2
2xlne2x1l5n2C
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例6. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
se2xcdxdx ta x x n C
例7. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =