根据系统输入输出关系建立状态空间模型

0
其中x [ x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [ y]。
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为:
x Ax Bu y Cx
其中
1 ... 0 0 ... ... ... ... A 0 0 ... 1 - an - an 1 ... - a1 C [1 0 ... 0]
即得系统的状态空间模型为
0 x 0 4 y [1 0 1 0 2 4 u 0 1 x 8 5 12 0] x
微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2
其系统结构图如下所示
u -12
3 x
4
2
2 x
微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)
将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 状态方程 x1 x2 ...... xn 1 xn xn a1 xn ... an x1 bu 和输出方程
y=x1
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
本节的内容为： 由高阶常微分方程建立状态空间模型
由传递函数建立状态空间模型
多输入多输出线性系统 非线性系统
由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系 统的状态空间模型,分别讨论
建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程
... xn 1 xn x1 x2 (n) x a x ... a x b u ... bn u 1 n n 1 0 n
其中x [ x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [ y]。
微分方程中包含输入量的导数项(8/11)
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u
n
n x
n-1
1
… x2
1 x
u
0

-a1
xn
n1 x

x1

y
…
-an-1 -an

微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2
1 a 1 a2 an 0 1 a1 an1 0 0 1 an2 0 0 b0 b 0 1 1 0 2 b2 1 n bn
微分方程中包含输入量的导数项(7/11)
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的 状态空间模型
1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 x u x 0 0 0 1 0 n 1 a1 an an 1` an 2 n y 1 0 0 0 x 0 u
0 x 0 6 y [1 0 1 0 0 0 u 0 1 x 11 6 6 0] x
微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1
其系统结构图如下所示
u 6
3 x

-6
x3

x2

x1
1
y
-11
2
-6
微分方程中包含输入量的导数项(1/11)
Hale Waihona Puke Baidu
根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为 分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连 续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。
因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量。
微分方程中包含输入量的导数项(3/11)
为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一 种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空 间模型
本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶 常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立 系统的状态空间模型。 这样的问题称为系统的实现问题。 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保 持系统输入输出间的动态和静态关系不变。
x Ax Bu y Cx Du
本节问题的关键是如何选择状态变量。
微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)
由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n1)(t )已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即 0 系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。 因此,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性。 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理 意义明确,易于接受。
0 ... B 0 b
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵 A 与微分方 程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中 系数b之间的对应关系。 通常将上述取输出 y 和 y 的各阶导数为状态变量称为相 变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式 ,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系 ,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵 ,这在后面的章节中 可以看到。
微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2
因此,当选择状态变量如下时
x1 y 0u y 1u 0u y 2u x2 y x 2u 1u 0u 4u 2u y 3 y
Ch.2 控制系统的状态空间 模型
目录(1/1)
目 录
概述
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵
2.6 线性离散系统的状态空间描述
2.7 Matlab问题 本章小结
an y b0u ( n ) b1u ( n 1)
bn u n 1u n 2 u
微分方程中包含输入量的导数项(6/11)
若待定系数i(i=0,1,…,n)满足如下关系式 0=b0 1=b1-a10 2=b2-a11-a20 …… n =bn-a1n-1-…-an0 即i(i=0,1,…,n)满足如下方程组
由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系, 故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法 同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。 类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法 亦适用于对微分方程建立状态空间模型。
对线性定常系统 拉氏变换 线性定常微分方程 传递函数
将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
1 0 0 0 0 1 x 0 0 0 an an 1` an 2 y 1 0 0 0 x 0 0 0 0 x u 1 0 a1 b
建立状态空间模型方法 机理方法 流程图、公式
由传递函数建立状态空间模型(3/6)
实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真 有理传递函数。 本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动 态行为的如下传递函数
由不含输入量导数项和
由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。
关键喔!
本节关键问题:
如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
2. 微分方程中包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
x Ax Bu y Cx Du
例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有 0=b0=0 1=b1-a10=2
2=b2-a11-a20 =4
3=b3-a12-a21-a30 =-12
微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
n x

-a1
xn

xn-1
…
x2
u

x1
1
y
-a2
…
2
-an-1 -an
微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1
例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+6y”+11y’+6y=6u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由 式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
因此,有
x1 y 0u x2 1u x2 y 1u 0 u x3 2 u xn 1 y ( n 1) n 2 u n 3u xn y ( n ) n 1u n 2 u a1 y ( n 1) 0 u ( n 1) xn n 1u 0u ( n) 0u ( n )
微分方程中包含输入量的导数项(4/11)
根据上述原则,选择状态变量如下
x1 y 0u x2 y 1u 0u 2u 1u 0u y x3 ( n1) ( n 1) x y u u u n1 n2 0 n

-5
x3

x2
1 x
u

x1
y


-8 -4
由传递函数建立状态空间模型(1/6)
2.3.2 由传递函数建立状态空间模型
下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的 状态空间模型。 关键问题: 1. 如何选择状态变量 喔,关键! 2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
由传递函数建立状态空间模型(2/6)