波束形成

数学表达 阵元i接收到第n个信源的输出：
X in (t ) = Sn (t ) ⋅ exp{− j 2π (i − 1)l ⋅
d
cosθ n
λ
} + ni (t )
X i (t ) = ∑ Sn (t ) ⋅ exp{− jk (i − 1) cosθ n } + ni (t )
n =1
k = 2π
3.2.2基于频域LMS的自适应算法的结构 3.2.2
基于频域LMS的自适应算法结构见图3.2所示，该算法先对输入信号进 行FFT变换，再通过LMS算法实现了在频域上进行波束形成。根据前面 分析知道：通过对阵列天线接收到的信号x(n) 进行FFT，经过FFT后的 r(n)，自相关性下降，呈带状分布，这样LMS算法收敛速度就很快。当 存在相干信源，假设它们DOA不同，相干信源在时域相干，但在频域 是不相干的，所以基于频域LMS的自适应波束形成算法对相干信源具有 鲁棒性。
θ = arg max[ E{w H x(n) x H (n) w}] w
wba = a (θ ) a H (θ )a (θ )
2.3 波束形成的准则
·最大信号噪声比准则（MSNR） 使期望信号分量功率与噪声分量功率之比为最大。但是必须知道噪声的统计 量和期望信号的波达方向。 ·最大信干噪比准则（MSINR） 使期望信号分量功率与干扰分量功率及噪声分量功率之和的比为最大。 · ·最小均方误差准则（MMSE） 在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望信号，基于此种情况提 出的准则。使阵列输出与某期望响应的均方误差为最小，这种准则不需要知 道期望信号的波达方向。 ·最大似然比准则（MLH） 在对有用信号完全先验无知的情况，这时参考信号无法设置，因此，在干扰 噪声背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。 ·线性约束最小方差准则（LCMV） 对有用信号形式和来向完全已知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。
-160
3.2 变换域自适应波束形成算法
最小均方(LMS) 自适应波束形成 算法是一种较简单、实用的自适 应波束形成算法。LMS 的优点 是结构简单，算法复杂度低，易 于实现，稳定性高；缺点主要是 收敛速度较慢，因而其应用也受 到一定的限制。分析表明，影响 LMS自适应波束形成器收敛速度 的主要因素是输入信号的最大、 最小特征值之比，该值越小收敛 就越快。为了提高收敛速度，人 们把频域滤波的方法加以推广得 到变换域的自适应滤波方法。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 n=2000 n=200 n=20
0
10
20
30
40 DOA
50
60
70
80
90
图3-3 DOA=20o的波束形成方向图
由图3-3可以看出随着 快拍数的减小波束形 成的效果下降。
第三章 自适应波束形成算法及
其改进
4.1 常用自适应波 束形成算法 LMS 最小均方 RLS
*
αi (θn ) = exp[− jk(i − 1) cosθn ] Y (t) = A(θ )S(t) + n(t) L(1) A(θ ) = [α(θ1) α(θ2 ) L α(θd )]
α (θ i ) → 阵列对信源i的方向向量
A(θ ) → 阵列流型（manifold）
固定阵 （仅取决于θ）
表1三种统计最佳波束形成方法的性能比较
2.4 仿真
Compare at Different SNR (DOA=20) 1
仿真一： 仿真一 ： LCMV波束形成方法在 不同信噪比情况下的比较 仿真中阵列中的天线数为16，阵 列之间间距为半波长，信道为 AWGN ， 在 快 拍 数 为 200 ， SNR 分别取-15，5和15的情况下，我 们用计算机分别仿真出LCMV方 法在不同SNR情况下得到的波束 形成方向图。DOA分别取5o，20o， 30o，40o，50o和60o。
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
SNR=-15 SNR=5 SNR=15
由图3-2可以看出随着信噪 比的提高波束形成的效果下 降。这是因为接收信号的协 方差矩阵R中对应的小特征 值的扰动引起的。
0
10
20
30
40 DOA
50
60
70
80
90
图3-2 DOA=20o的波束形成方向图
波束形成算法及其新进展
张小飞 2005/4/10
南京航空航天大学电子工程系
目 录
§0.引言 0.引言 1.阵列天线的统计模型和DOA估计 阵列天线的统计模型和DOA §1.阵列天线的统计模型和DOA估计 2.常用的波束形成算法 §2.常用的波束形成算法 3.自适应波束形成算法及其改进 §3.自适应波束形成算法及其改进 4.采样协方差求逆SMI算法改进 采样协方差求逆SMI §4.采样协方差求逆SMI算法改进 5.其他波束形成算法 §5.其他波束形成算法 6.总结 §6.总结
[
[
]
]
R = ∑ λi ⋅ ei ⋅ e = EΛE
i =1 H i
m
H
Λ = diag (λ1 λ2 L λm ) L 特征值 E = [e1 e2 L em ] …特征向量
d个独立信源，则Rank [ RS ] = d，则有 Λ S 0 E = [ES E N ]，Λ = 0 ΛN Λ S = diag (λ1 λ2 L λd ) ES = [e1 e2 L ed ]
图2-1
M
约束条件：
min E y (t )
w
{
2
ˆ }= min{w Rw}
H w
w H a (θ d ) = 1
这个问题很容易用Lagrange乘子法求解。 波束形成器的最佳权向量为
wopt = µR a (θ d )
−1
该方法为 LCMV
此方法涉及到矩阵求逆，又称为SMI
2.2 Bartlett 波束形成算法 Bartlett 波束形成算法是使得波束形成的输出功率相对 于某个输入信号最大。
1.2、 DOA估计（Direction Of Arrival）波达方向 MUSIC算法 Multiple Signal Classification.
Y = AS + n 取协方差矩阵 R = E YY H = ARS A H + σ 2 I RS = E SS H — 满秩矩阵（独立信源） R为正定、哈米特矩阵，进行特征分解
Compare at Different Sample(DOA=20)
仿 真 2 ： LCMV 波 束 形 成方法在不同快拍数情 况下的比较 仿真中阵列中的天线数 为16，阵列之间间距为 半波长，信道为AWGN， 在SNR为-15，快拍数分 别为2000，200和20的 情况下，我们用计算机 分别仿真出LCMV方法在 不同快拍数情况下得到 的波束形成方向图。 DOA分别取5o，20o，30o， 40o，50o和60o。
当DOA较小时，空域采样间 隔较小，空域采样率较高，空 域频率高，见图（a）。而 DOA很大时候，可以认为空 域采样间隔较大，空间采样率 较低，空域频率较低，见图 （b）。所以在固定的阵列间 距的情况下不同DOA 对应于 不同空域频率。
不同DOA情况空域频率
假设接收到信号的DOA不同，其空域频率也不同， DOA从[0，π/2] 增加，其空域频率下降，所以，我们认为阵列接收到的信号是多种 空域频率信号的叠加，如果对接收到的信号进行FFT变换(或其他变 换)，得到其空域频谱，即不同DOA对应的空域频率就会显示出来。 根据前面，空域频率为：
Learning Curve 20 0 -20 -40 MSE/dB -60 -80 -100 -120 -140 LMS RLS
0 50 100 150 200 250 300 350 由图3-1可以看出RLS方法 Iteration 只需迭代十几次就收敛到 满意的值，而LMS方法需要 经过一百多次迭代才收敛。 图3-1 LMS和RLS的自适应波束形成方法的学习曲线
引言
波束形成是阵列信号处理、智能天线系统中一重要技术 使用阵列天线的优点： -提高系统的容量 -提高系统的性能 -抑制干扰和噪声 -节省功率 波束形成应用于： 雷达 声纳 电子或通信干扰侦察 移动通信 医学领域 等
1.1、阵列信号数学模型 假设
信源为远场、窄带信号。 信源个数d小于阵源数m, d<m。 信源为平稳、各态历经、零均值复随机过程。 各通道噪声为加性噪声，彼此独立，也独立于 信号。 噪声为平稳高斯过程,均值为零。
... ... α1(θd ) S1(t) n1(t) ... ... α2 (θd )S2 (t) n2 (t) ... ... ... ⋅ + ⋅ ... ... ... ⋅ ⋅ ... ... αm (θd )Sd (t) nm (t)
x(n)
FFT
r(n)
Y(n)
LM S
图3.2基于频域LMS的自适应算法的结构
基于频域LMS的自适应波束形成算法（ 基于频域LMS的自适应波束形成算法（FLMS-ABF）如下： LMS的自适应波束形成算法 ）如下： 1) 对输入信号进行FFT，用矩阵表示为
频域LMS自适应波束形成 降维的频域自适应波束形成 小波域自适应波束形成 小波包变换自适应波束形成
3.2.1阵列接收信号分析 3.2.1阵列接收信号分析 两个相邻阵元接收到的信号不同之处在于相位差 ，空域 采样间隔，这决定了信号空域频率。 2π kd sin θ = d sin θ λ 从公式可以看出空域采样间隔与波达方向（DOA）有关。
自适应波束形成算法的比较
仿真中阵列中的天线数为 16，阵列之间间距为半波 长 ， 信 道 为 AWGN ， 在 SNR为30时，样本数为320 的情况下，我们用计算机 分 别 仿 真 出 LMS 方 法 和 RLS方法的两种自适应波束 形成方向图。DOA分别取 5o ，20o ，30o ，40o ，50o 和 60o。期望的DOA为30o 。
Λ N = diag (λd +1 λd + 2 L λm ) E N = [ed +1 ed + 2 L em ]
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λd ≥ λd +1 = λd +2 = L = λm λ按大小顺序排列
Span[ ES ]和Span[ E N ]：信号子空间、噪声子空间。 Span[ ES ] = Span[ A(θ )] 由哈米特特性知：Span[ ES ] ⊥ Span[ E N ] ∴ Span[ E N ] ⊥ Span[ A(θ )]
l
λ
，i = 1,2,..., m
其中：d : 为信源数
X1(t) α1(θ1) α1(θ2 ) X (t) α (θ ) α (θ ) 2 2 2 2 1 Y (t) = ⋅ = ... ... ... ⋅ ... Xm (t) αm (θ1) αm(θ2 )
f spatial =
d sin θ
λ
根据上式，我们知道空域频率是与波长、DOA、阵列间距等有关， 与信源无关。 阵列接收到的信号是各DOA对应的空域频率信号的叠加，则对接收信 号进行FFT，在空域频谱只存在着各DOA对应的空间频率的谱峰。所 以FFT变换后的信号为稀疏矩阵，在非DOA对应的空间频率上其值很 小或为0，相关性下降。这是基于频域LMS的自适应波束形成算法的 依据。
[ ]
[
]
Hale Waihona Puke DOAs = [10 25 60]; snr = 20;
图2-1
第二章 常用的波束形成算法
2.1波束形成的 2.1波束形成的 最佳权向量
通过调整加权系数完成 的，阵列的是对各阵元 的 接 收 信 号 向 量 x(n) 在 各阵元上分量的加权和。 则输出可写作
* y (n) = w H x(n) = ∑ wm x m (n) m =1
H E N ⋅ α (θ ) = 0
利用正交关系，构造MUSIC空间谱估计式：
*
H PMUSIC (θ ) = [α H (θ ) E N E N α (θ )]−1
一维搜索： 0 ≤ θ ≤ 2π ) 1 L H 实际： R = ∑ YKYK L K =1 ) Span E N ⊥ Span[A(θ )] ) )H −1 H PMUSIC (θ ) = α (θ ) E N E N α (θ )