迭代与分形

1) 设定图形区域的范围
2) 对给定区域划分网格 3) 针对每个网格，设置一定的色彩
5. Mandelbrot集
复函数迭代：
2 Zn 1 Zn C,
n 0,1,
固定初值 Z0 ，集合(Mandelbrot集): J Z 0 {C | 迭代序列 {Z n } 有界} 观察：参数 C 在复平面上的分布图形 M集是使Julia集为连通的参数C的集合
第四次上机作业
1、对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线 的方式进行迭代，产生的分形图称为 Koch 雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算 Koch雪花的面积。
2、（选做）自己构造生成元（要有创意）， 按照图形迭代的方式产生分形图，用计算 机编制程序绘制出它的图形。
分形几何的创始人： 曼德布罗（Mandelbrot） 分形的原义：
不规则的、分数维的、支离破碎的 分形的形成标志：
《自然界的分形几何》，1977 《分形：形态、偶然性和维》，1982
分形的诞生
五、预备知识
1. 什么是迭代
就是将一种规则反复作用在某个对象上
分形几何把自然形态， 看作是具有无限嵌套的层次结构
美国生物学家Lindenmayer 提出，研究植物形态 与生长的描述方法。
4.Julia集
复函数迭代：
Zn 1 Z C,
2 n
n 0,1,
固定复参数C，集合(Julia集):
J c { Z0 | 迭代序列 {Z n } 有界}
观察：初值 Z 0 在复平面上的分布图形
绘制 Julia 集的大概思路：
p=[0,0;10,0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两
结点的坐标 n=1; %存放线段的数量，初始值Hale Waihona Puke Baidu1（思考：n若为结 点数，后续该如何处理 A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; %用于计算新的 结点 for s=1:k j=0; %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 % 思考：可否取为1
n=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4 clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r 中 p=[r;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点 end figure plot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图 axis equal %各坐标轴同比例（思考：若 没有这项操作会怎样？）
比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵 、 布朗运动的轨迹，等……
如何描述这些复杂的自然形态？
四、问题分析
法国数学家曼德尔布罗特[B.B.Mandelbrot] 1967年 ：研究英国的海岸线形状等问题
1.英国的海岸线究竟有多长？
英国的海岸线究竟有多长？
英国的海岸线究竟有多长？
2.如何描述海岸线的结构？ 小湾之内有更小的湾，半岛之外有更小的半岛
2. 分形几何体的维数 维数就是几何体在“尺度”上的特征 通常的几何体具有整数维： 一维的线段、二维的正方形、三维的立方体， 分形中，需要自己的维数(分数维) 比如Koch曲线（长度是无穷大，面积是零）
用一维的线段去量，得数无穷大，尺子太小
用二维的正方形去量，得数为零，尺子又太大
Koch曲线的维数：界于1与2之间。
总长度→∞
计算Koch曲线的相似维数 相似形个数：m=4， 边长放大倍数：c=3，
d ln m ln c ln 4 ln3 1.2619
Koch曲线的维数 d=1.2619。 Koch曲线的维数界于 ：1与2之间。 （长度为无穷大、面积为零） 查看代码
2. 谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯
简单的迭代过程， 就是描述复杂的自然形态的有效方法
(1)图形迭代 给定初始图形F0，以及一个替换规则R, 将R反复作用在初始图形F0上, 产生一个图形序列： R（F0）＝F1， R（F1）＝F2， R（F2）＝F3， … 其极限图形就是分形。(称R为生成元) 。
(2)函数迭代 给定初始值x0，以及一个函数f(x), 将f(x)反复作用在初始值x0上， 产生一个数列： f（x0）＝x1， f（x1）＝x2， f（x2）＝x3， …
for q=1:length(x) %用蓝色注满多边形区域 fill(x(q)+[0,d,d,0,0],y(q)+[0,0,d,d,0],'b') end hold off axis off %不要坐标轴 axis equal %各坐标轴同比例 %不显示这些正方形的边界 set(findobj(gcf,'type','patch'),'edgecolor','none')
特征：自相似性。 每一个局部， 都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本
小湾之内有更小的湾，半岛之外有更小的半岛 特征：自相似性。 每一个局部， 都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本
(Koch 曲线)
Mandelbrot集合局部放大
3. Mandelbrot将这类几何形体称为分形
具有无限嵌套的层次结构 具有局部与整体的相似性 具有非拓扑维数，且大于对应的拓扑维数 具有随机性 海岸、山峦、云彩等自然现象都具有分形的特性 分形(fractal) ------大自然的几何学
实验四 迭代与分形
一、实验目的
了解分形几何的基本特性
了解通过迭代方式产生分形图的方法 欣赏美妙的分形艺术
二、分形欣赏
美得让人心颤的分形
三、问题描述
欧氏几何研究对象：都是规则并且光滑的 比如：直线、曲线、曲面等
客观世界中物体形状：近似当作欧氏几何的对象
比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面 极不规则的形态：传统的几何学就无能为力了！
总面积→0
计算Sierpinski地毯的相似维数 相似形个数：m = 8， 边长放大倍数：c = 3，
d ln m ln c ln8 ln3 1.8928
Sierpinski地毯的维数 d = 1.8928 。 Sierpinski地毯的维数界于 ：1与2之间。 查看代码
3. 花草树木(L系统）
for q=1:length(x) %每个小正方形计算一次 x1=x(q)+[0,d/3,2*d/3,0,2*d/3,0,d/3,2*d/3]; %新 的x坐标 y1=y(q)+[0,0,0,d/3,d/3,2*d/3,2*d/3,2*d/3]; %新 的y坐标 a1=[a1,x1]; %所有顶点x坐标存入a1 b1=[b1,y1]; %所有顶点y坐标存入b1 end d=d/3; %迭代一次，边长缩小 x=a1; %全部的x坐标重新放入x y=b1; %全部的y坐标重新放入y end figure hold on %在同一个图形窗口显示
function plotSierpinski(x,y,d,n); % x 为正方形的顶点的横坐标，可取0 （一个顶 点代表一个小正方形） % y 为正方形的顶点的纵坐标，可取0 % d 为初始正方形边长，可取1 % n为迭代次数，可取4 for p=1:n %实现迭代过程,计算所有的顶点坐标 a1=[]; %保存迭代后所有顶点的x坐标 b1=[]; %保存迭代后所有顶点的y坐标 %根据小正方形的顶点坐标， %计算迭代后形成的8个新的小正方形的顶点坐标
七、分形的应用领域
1、数学：动力系统； 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流； 3、化学：酶的构造； 4、生物：细胞的生长； 5、地质：地质构造； 6、天文：土星上的光环； 7、其他：计算机，经济，社会，艺术等等。
八、分形欣赏
function plotkoch(k) %显示迭代k次后的Koch曲线图
将一个正方形，
均匀分成九个小正方形 , 然后挖调中间的一个。
计算Sierpinski地毯的面积
1 初始面积1；每迭代一次,面积减少： 9 ，
第一次迭代后，总面积：1 (1 1 ) 9 1 (1 1 ) (1 1 ) 第二次迭代后，总面积： 9 9
n 1 第n次迭代后，总面积： (1 9 )
六、实验过程
本实验以迭代的方式， 来体验生成分形图的过程，
从而对分形几何有一个直观的了解， 并感受美丽的分形图案。
1. 科赫（Koch）曲线 迭代
将一根线段三等份， 并将中间段用以该段为边的 等边三角形的另外两边替代。
计算Koch曲线的长度 初始线段长 1，每迭代一次，长度增加
1 ， 3
第一次迭代后，总长：1 (1 1 ) 3 第二次迭代后，总长： 1 (1 1 ) (1 1 ) 3 3 n 1 (1 ) 第n次迭代后，总长： 3
%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它 们之间增加的三个 %结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂 时放到r中 for i=1:n %每条边计算一次 q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标 q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r end %原终点作为下条线段的起点，在迭代下 条线段时存入r
相似维数：
设分形 F 是自相似的， F 由 m 个子集构成， 每个子集放大 c 倍后同 F一样， 则定义 F 的维数为：
ln m d
ln c
, 即： c m
d
采用这种方式计算出来的维数
对于通常的几何对象，与传统的维数是一致的
fill函数: fill的作用是颜色填满一个多边形区域，基本调用 格式如下： fill(X,Y, ColorSpec) 其中X是围成多边形区域的横坐标，Y是竖坐标 ，通过ColorSpec指定颜色。在使用时注意：要保 证绘图数据首尾重合，使得多边形封闭。 例 x=[0 1 1 0 0];y=[0 0 1 1 0];fill(x,y,’b’) t=(1/16:1/8:1)'*2*pi; x = sin(t); y = cos(t); fill(x,y,'r')