迭代与分形
分形的特点及构造方法
分形的特点及构造方法分形是数学中的一个重要概念，它具有独特的特点和构造方法。
作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍分形的特点以及构造方法，希望能够帮助中学生及其父母更好地理解和应用分形。
一、分形的特点分形最显著的特点就是自相似性。
自相似性是指一个物体的各个部分都与整体具有相似的形状或结构。
换句话说，无论是放大还是缩小，这个物体的形状都会重复出现。
例如，我们可以观察一片树叶，发现树叶的小分支和整个树叶的形状非常相似，这就是分形的自相似性。
另一个特点是分形的复杂性。
分形形状通常是非常复杂的，往往无法用简单的几何图形来描述。
例如，分形图形中的曲线可以不连续，具有很多细节和尖锐的边缘。
这种复杂性使得分形在自然界和科学研究中具有广泛的应用价值。
二、分形的构造方法1. 基于迭代的构造方法迭代是分形构造的基本方法之一。
通过不断重复相同的操作，可以构造出具有自相似性的分形图形。
例如，康托尔集合就是通过迭代的方式构造出来的。
首先，将一条线段分成三等分，然后去掉中间那一段，再对剩下的两段线段进行相同的操作。
重复这个过程无限次，最后得到的就是康托尔集合，它具有自相似性和复杂的形状。
2. 基于分形几何的构造方法分形几何是研究分形的数学工具，通过一些几何变换和规则，可以构造出各种各样的分形图形。
例如，科赫曲线就是通过分形几何构造出来的。
首先，将一条线段分成三等分，然后将中间那一段替换为一个等边三角形的两条边，再对剩下的两段线段进行相同的操作。
重复这个过程无限次，最后得到的就是科赫曲线，它具有分形的特点。
三、分形的应用分形不仅仅是数学中的一个概念，它还具有广泛的应用价值。
在自然界中，很多自然现象都具有分形的特点，例如云朵的形状、山脉的轮廓、河流的分布等。
通过研究这些分形现象，我们可以更好地理解自然界的规律。
在科学研究中，分形也被广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
例如，在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形电阻、分形结构的磁体等。
牛顿迭代分形
牛顿迭代分形牛顿迭代分形，也被称为牛顿分形或牛顿法则，是一种基于数学原理的图像生成算法。
它利用牛顿迭代的思想和复数运算，通过不断迭代计算，可以生成一幅幅美丽而神奇的分形图形。
牛顿迭代分形的生成过程可以简单描述如下：首先，选择一个复数作为初始值，然后通过不断迭代计算来寻找该复数的根。
根据牛顿迭代法的原理，我们可以得到下一个近似根的值，然后再将该值作为新的初始值进行迭代计算，直到达到预设的迭代次数或者满足停止条件。
最终，我们可以将迭代过程中的所有值映射到一个二维平面上，从而生成一张牛顿迭代分形图。
牛顿迭代分形的生成过程中，不同的初始值会产生不同的分形图形。
在分形图中，我们可以看到许多迭代过程中的轨迹，这些轨迹形成了分形的结构。
分形通常具有自相似性，即无论观察整个图像还是它的一部分，都会发现相似的形态或图案。
牛顿迭代分形在数学研究、计算机图形学、艺术创作等领域都有广泛的应用。
它不仅可以帮助我们理解复数和迭代的概念，还可以产生出许多美丽而复杂的图像。
这些图像不仅能够为我们提供视觉上的享受，还可以激发我们对数学和艺术的兴趣。
通过牛顿迭代分形的创作过程，我们可以感受到数学的魅力和无穷的可能性。
每一次的迭代计算，都是在数学的世界中进行探索和发现。
而每一张生成的分形图像，都是对数学美的一次呈现和诠释。
当我们深入探索牛顿迭代分形时，我们会发现其中隐藏着无限的奥秘和惊喜。
这些分形图像不仅令人惊叹，还能够启发我们对数学和艺术的思考。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的美妙和艺术的魅力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
牛顿迭代分形是一种令人着迷的图像生成算法。
它不仅展示了数学的美丽和复杂性，还激发了我们对数学和艺术的兴趣。
通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的魅力和艺术的魔力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。
让我们一起沉浸在牛顿迭代分形的世界中，探索数学与艺术的交汇之处！。
分形、混沌与迭代
试验十二 分形、混沌——迭代一、试验目的：1、Koch 曲线、Sierpinski 三角形、Cantor 集的计算机实现2、掌握用迭代、递归生成分形3、用Matlab 观察分岔与混沌现象二、分形相关程序：1、从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。
算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。
图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。
显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600而得。
旋转由正交矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。
算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个25⨯矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。
实验程序及注释：p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标 n=2; %n 为结点数A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff 计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d 就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k 位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])实验数据记录：由上面的程序，可得到如下的Koch 分形曲线：2、由四边形的四个初始点出发，对于四边形的每条边，生成元如下：可得到火焰般的图形。
3-迭代与分形
试验二迭代与分形一、实验目的与要求1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构；4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、问题描述几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。
传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。
但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。
虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。
如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。
三、问题分析在我们的世界上，存在着许多极不规则的复杂现象，比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市场上价格的起伏图等，为了获得解释这些极端复杂现象的数学模型，我们需要认识其中蕴涵的特性，构造出相应的数学规则。
曼德尔布罗特（Mandelbrot）在研究英国的海岸线形状等问题时，总结出自然界中很多现象从标度变换角度表现出对称性，他将这类集合称作自相似集，他发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。
Mandelbrot 将这类几何形体称为分形(fractal)，意思就是不规则的、分数的、支离破碎的，并对它们进行了系统的研究，创立了分形几何这一新的数学分支。
Mandelbrot 认为海岸、山峦、云彩和其他很多自然现象都具有分形的特性，因此可以说：分形是大自然的几何学。
分形几何体一般来说都具有无限精细的自相似的层次结构，即局部与整体的相似性，图形的每一个局部都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本。
早在19世纪就已经出现了一些具有自相似特性的分形图形，比如：瑞典数学家科赫（von Koch）设计的类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，即Koch曲线；英国植物学家布朗通过观察悬浮在水中的花粉的运动轨迹，提出来的布朗运动轨迹。
ppt02迭代分形图形
%程序1 u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150, x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100 x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,’r.’) hold on; end 程序运行时间 0.28秒。不保留旧 的X 值，而是直接用它画图。
%程序2 u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250 X(j+1,:)=u.*(X(j,:)-X(j,:).^2); end plot(u,X(150:end,:),’r.’) 运行时间0.15秒，比程序1快。 保 留 所 有 X 值 ， 每 次 计 算 的X 值 生成矩阵的一行元素，最后用矩 阵X 的后150行作图，程序可读性 强。
u=uuu; subplot(3,3,n+1); end
plot(u)， axis([-0.5,0.5,0,1])
3.1.3 树程序3 以矩阵元素赋值的方法计算新点坐标，减少一重循环。 new=[0,i]; subplot(3,3,1); plot(new); axis([-0.5,0.5,0,1 ]); for k=1:8 old=new; n=length(old)/2-1; diff=(old(2:2:end)-old(1:2:end-1))/3; p1=old(1:2:end-1)+diff; p2=p1+diff; lp=p1+diff*(sqrt(3)/2+1/2*i); rp=p2+diff*(sqrt(3)/2-1/2*i); new(2:10:10*n+2)=p1; %第一次循环计算第2,12,22,...点 new(3:10:10*n+3)=p1; %第一次循环计算第3,13...点 new(4:10:10*n+4)=lp; new(5:10:10*n+5)=p1; new(6:10:10*n+6)=p2; new(7:10:10*n+7)=p2; new(8:10:10*n+8)=rp; new(9:10:10*n+9)=p2; new(10:10:10*(n+1))=old(2:2:end); %10,20,... new(1:10:10*n+1)=old(1:2:end-1); %1,11,21.... subplot(3,3,k+1)， plot(new) axis([-0.5,0.5,0,1 ]); end 3.1.4 树程序4(运行时间0.21秒) 每个图形缩小为原来的1/3,再移动位置, 添加到原图形。参看右边的电影。 u=[0,i]; subplot(3,3,1); plot(u) for k=2:8 m=u/3;
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。
分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)⇒表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
数学实验之十二迭代---分形
Z k 1 wi ( zk ), k 0,1,...
则点集 {Z k } 的聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法 １、设图形可视区域为
V [ xmin , xmax ] [ ymin , ymax ]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代 次数为N。 ２、将 V 分成 a b 的网格，格点为 ( xi , y j ) 用 Vij [ xi , xi 1 ] [ y j , y j 1 ] 表示矩形区域。用 ij 表示在N次迭代中落入 Vij 中点的个数。 记 max ij 则象素 (i,j)的灰度为
3、函数迭代产生的分形
用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。 任意给定初始复数值 Z 0 ，定义复数序列
Z n1 f (Z n ), n 0,1,2, (1)
对于什么样的初始值 Z 0 ，复数序列 {Z n } 收敛或有界？
• Julia集
考虑复变函数迭代
2 Z n 1 Z n c,
按上述方式迭代数百次，呈现极不规则 的图形。故称为混沌游戏。
• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换
wi ( Z ) ai Z bi , i 1,2,..., n
以及 n 个概率 p1, p2 ,..., pn ( p1 ... pn 1) 任给初值 Z 0 ，以概率 pi 选取变换 wi 进行迭代
5、分形欣赏
分形时装
分形音乐
• 相关主页： • / SiliconValley/Haven/4386 • /fxiy/index.htm
分形影院
• /fxyy/fs/fs005.htm
分形与迭代资料讲解
分形与迭代实验三迭代与分形一、实验目的与要求1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构；4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、问题描述1．对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
2．自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。
三、问题分析1．第一题要求我们利用一个等边三角形然后在三角形的基础上利用理论课上的Koch曲线的画法，产生一朵Koch雪花，由于Koch雪花的产生相当于将三条等长的直线分别产生的Koch曲线按照等边三角形的坐标形式组合起来然后在同一个坐标系中表示出来，这就形成了Koch雪花图案。
四、背景知识介绍1．什么是迭代迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。
我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。
(1)图形迭代。
给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列：R（F0）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，…(2)函数迭代。
给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列：f（x）＝x1，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，…2．p lot函数介绍plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。
基本调用格式如下：(1) plot(Y,LineSpec)。
其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。
本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。
当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。
(2) plot(X,Y)。
其中，X 、Y 一般是相同长度的数组。
形的迷宫认识迭代形和分形
形的迷宫认识迭代形和分形形的迷宫：认识迭代形和分形形的迷宫是一种令人着迷的艺术形式，它展现了数学中的迭代过程和分形结构。
通过反复应用简单的规则，我们可以创造出复杂、精美的图案，这些图案具有自相似性和无穷细节的特点。
本文将介绍迭代形和分形，带您一起探索形的迷宫的奇妙世界。
一、迭代形的基本概念迭代形是指通过重复应用一组规则，以递归的方式生成的图形。
简单来说，就是将某个图形的一部分不断地按照固定的方法复制或变形，直到最终构成一个完整的图形。
这种迭代的过程可以无限进行下去，使图形变得更加复杂。
例如，考虑一个最基本的迭代形——科赫曲线。
它起初是一条长度为L的线段，然后在中间插入一个相等长度的线段并将其旋转90度，将原来的一条线段变为两条线段。
接着，对每一条线段都重复相同的操作，不断重复，直到达到一定的迭代次数。
随着迭代次数的增加，科赫曲线的长度也会变得越来越长，形状也越来越复杂。
二、分形的本质特征分形是指具有自相似性的图形，即图形的一部分与整体看起来非常相似。
一个分形结构可以在不同的尺度上反复出现，无论是放大或缩小，都可以看到相似的形状和细节。
这种无限的自相似性使得分形具有丰富的细节和复杂性。
迭代形就是分形的一种典型表现。
通过重复应用规则，不断生成新的形状，并在不同的尺度上反复出现，使得整个图案充满了细节，并且在各个层次上都具有相似的特征。
三、分形艺术的应用分形艺术是一种利用计算机生成分形图形的艺术形式。
艺术家通过编写程序，根据自己的审美意识和规则来生成各种各样的分形图案。
这种艺术形式不仅可以创造出美丽的图像，还可以用来表达深刻的数学概念和哲学思考。
分形艺术广泛应用于视觉效果的设计、艺术创作、科学研究等领域。
在视觉效果的设计中，分形艺术可以带给观众无穷的视觉享受，独特的形状和细节让人沉迷其中。
在艺术创作中，艺术家可以通过分形艺术表达自己对自然界、人类社会、宇宙等的思考和感受。
在科学研究中，分形艺术可以帮助人们更好地理解和分析复杂的自然现象，如天气、肺部结构等。
分形结构的生成和应用
分形结构的生成和应用分形是数学的一个分支，它研究的是具有自相似性质的图形。
在分形理论中，所生成的图形可以保持其自相似性质，在不同的尺度上展现出不同的特征和形态。
分形结构通常具有不规则的形状和无限级别的精细度，因此在科学、艺术、工程等领域具有广泛的应用。
分形结构的生成分形结构的生成可以通过许多不同的方法，其中最常见的是通过迭代函数来实现。
迭代函数是一类映射函数，它的输出作为下一轮迭代的输入，通过不断地迭代更新，就可以生成出分形结构。
在迭代函数的过程中，通常涉及到参数的调节和控制，来决定分形的特征和形态。
例如，著名的分形图形Mandelbrot集就是通过迭代函数来生成的。
这个图形是以数学家Mandelbrot的名字命名的，它的定义是在复数空间内，对于一个给定的复数c，按照如下迭代方式计算：$$ z_{n+1} = z_n^2 + c$$其中$c$是一个常数，$z_0 = 0$。
当迭代序列$z_n$在某个时刻开始发散，也就是超过某个阈值的时候，就将其归于Mandelbrot集中。
通过这个简单的迭代函数，就可以生成出著名的Mandelbrot集。
这个分形结构的形态和特征具有无限的复杂性和多样性，并且它在自相似性质的基础上具有深入的规律和变化。
分形结构的应用分形结构的应用非常广泛，根据不同的领域和需求，可以有不同的应用方式和方法。
以下介绍几个常见的应用领域。
1. 自然科学分形结构在自然科学中具有非常重要的应用价值。
例如，在天文学领域，经常使用分形结构来描述和分析星云、星系、星团等天体结构的形态和性质。
在地理学领域，分形结构可以用来研究地貌、土地利用、水文地理等领域的地球科学问题。
在生物学领域，分形结构可以用来研究细胞、大脑、DNA等生物结构的形态、分布和复杂性等方面。
2. 艺术设计分形结构在艺术设计中具有很高的实用和美学价值。
例如，许多现代艺术作品中就包含了分形结构的元素，这些作品的形态和特征是根据不同的迭代函数和算法来实现的。
迭代与分形
2. 分形几何体的维数 维数就是几何体在“尺度”上的特征 通常的几何体具有整数维： 一维的线段、二维的正方形、三维的立方体， 分形中，需要自己的维数(分数维) 比如Koch曲线（长度是无穷大，面积是零）
用一维的线段去量，得数无穷大，尺子太小
用二维的正方形去量，得数为零，尺子又太大
Koch曲线的维数：界于1与2之间。
比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵 、 布朗运动的轨迹，等……
如何描述这些复杂的自然形态？
四、问题分析
法国数学家曼德尔布罗特[B.B.Mandelbrot] 1967年 ：研究英国的海岸线形状等问题
1.英国的海岸线究竟有多长？
英国的海岸线究竟有多长？
英国的海岸线究竟有多长？
2.如何描述海岸线的结构？ 小湾之内有更小的湾，半岛之外有更小的半岛
简单的迭代过程， 就是描述复杂的自然形态的有效方法
(1)图形迭代 给定初始图形F0，以及一个替换规则R, 将R反复作用在初始图形F0上, 产生一个图形序列： R（F0）＝F1， R（F1）＝F2， R（F2）＝F3， … 其极限图形就是分形。(称R为生成元) 。
(2)函数迭代 给定初始值x0，以及一个函数f(x), 将f(x)反复作用在初始值x0上， 产生一个数列： f（x0）＝x1， f（x1）＝x2， f（x2）＝x3， …
function plotSierpinski(x,y,d,n); % x 为正方形的顶点的横坐标，可取0 （一个顶 点代表一个小正方形） % y 为正方形的顶点的纵坐标，可取0 % d 为初始正方形边长，可取1 % n为迭代次数，可取4 for p=1:n %实现迭代过程,计算所有的顶点坐标 a1=[]; %保存迭代后所有顶点的x坐标 b1=[]; %保存迭代后所有顶点的y坐标 %根据小正方形的顶点坐标， %计算迭代后形成的8个新的小正方形的顶点坐标
实验四函数的迭代、混沌与分形解读
实验四函数的迭代、混沌与分形[实验目的]1. 认识函数的迭代；2. 了解混沌和分形.迭代在数值计算中占有很重要的地位,了解和掌握它是很有必要的.本实验将讨论用Newton迭代求方程根的问题,以及迭代本身一些有趣的现象.§1 基本理论1.1 迭代的概念给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代.函数f(x)的迭代过程如下:x0,x1=f(x0),x2=f(x1),……..,x n=f(x n-1)…..,它生成了一个序列{x n}迭代序列.许多由递推关系给出的数列,都是递推序列.例如数列.X0=1,x n=1+1/(1+x n-1) (n=1,2,…………..)是由函数f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)取初值为1所得的迭代序列.1.2 迭代序列的收敛性定理设函数f(x)满足:(1)对任意x∈(a,b),f(x)∈(a,b);(2)f(x)在(a,b)内可导,且存在常数L使得|f(x)'|=L<1,则当初值x0∈(a,b)时,由f(x)生成的迭代序列收敛.在迭代函数f(x)连续的条件下,如果迭代数列收敛,则它一定收敛于方程x=f(x)的根.该方程的根也称函数f(x)的不动点.设x*为f(x)的不动点,f(x)'在x*的附近连续,若|f(x*)'|<1,则称不动点x*是稳定的;若f(x*)'=0,则称不动点x*是超稳定的.在超稳定点x*附近,迭代过程x n+1=f(x n)收敛到x*的速度是非常快的.1.3 Newton迭代法设函数g(x)具有一阶导数,且g(x)'≠0,则函数f(x)=x-g(x)/g(x)'的迭代称为Newton迭代,若函数f(x)存在不动点,则它一定是方程g(x)=0的根,故Newton迭代法可用来求方程g(x)=0的根.§2 实验内容与练习2.1 迭代的收敛对于函数迭代,最重要的问题是迭代序列的收敛性.一般说,迭代序列是否收敛取决于迭代函数与初值.作为一个例子，我们用来讨论用Newton迭代法求函数g（x）=（x-17）5/3（x-5）-2/3的根，其Mathematica程序为：Clear[g，x]；g[x_]：=（x-17）^(5/3)*(x-5)^(-2/3);f[x_]=Factor[x-g(x)]/D[g[x],x]];x0=5.5;n=20;For[i=1,i<=n,i++,x0=N[f[x0]];Print[i,”“,x0,”“,D[f[x],x]/.x->x0]]执行结果见表4.1.表4.1的结果说明迭代序列收敛于g(x)的零点17.我们注意到程序中取的迭代处值为5.5,如果其它的数作为初值,所得的迭代序列是否收敛于17呢?我们可以取其它初值做实验,结果得到表4.2(表中第三列是迭代序列的前6位有效数字首次为17.0000的步数).从表4.2中可看出,只要初值不取5,迭代序列都收敛于17,且收敛速度与初值的选取关系不大.前面程序中使用的f(x)为g(x)的化简过的Newton迭代函数,用Mathematica命令可检查出它为(25x-85)/(x+3)(注意,这个式子扩充了原迭代函数在x=5,x=17处的定义),解方程f(x)=x.得到x=17,与x=5.即17和5是f(x)的两个不动点,有前面的讨论知这两个不动点是有区别的:对于17,不管初值取为多少(只要不为5),迭代序列总是收敛于它;而对于5,只要初值取为5时,迭代序列才以它为极限,这样一种现象在函数的迭代中普遍存在,为方便区分起见,我们给这样两种点各一个名称:像17这样的所有附近的点在迭代过程中都趋向于它的不动点,称为吸引点;而像5这样的所有附近的点在迭代过程中都远离它的不动点,称为排斥点.上面的f(x)=(25x-85)/(x+3)是一个分式线性函数,对于一般的分式线性函数,迭代序列是否总是收敛呢?练习1 编程判断函数f(x)=(x-1)/(x+1)的迭代序列是否收敛.在上节我们已经指出,如果迭代序列收敛,一定收敛到函数的某个不动点,这就是说,迭代函数存在不动点是迭代序列收敛的必要条件.那么如果迭代函数存在不动点,迭代序列是否一定收敛呢?练习2 先分别求出分式线性函数f1(x)=(x-1)/(x+3),f2(x)=(-x+15)/(x+1)的不动点,再编程判断它们的迭代序列是否收敛.运用上节的收敛定理可以证明:如果迭代函数在某不动点处具有连续的导数且导数值介于-1与1之间,那么取该不动点附近的点为初值所得到的迭代序列一定收敛到该不动点.练习3 你能否说明为什么17是f(x)=(25x-85)/(x+3)的吸引点,而5是f(x)的排斥点?尽量多找些理由支持这个结论.练习4 能否找到一个分式线性函数(ax+b)/(cx+d),使它产生的迭代序列收敛到给定的数?用这种办法计算2.2.2迭代的”蜘蛛图”对函数的迭代过程,我们可以用几何图象来直观地显示它.在xoy平面上,先作出函数y=f(x)与y=x的图象,对初值x0,在曲线y=f(x)上可确定一点p0,它以x0为横坐标,过p0引平行x轴的直线,设该直线与y=x交与点Ｑ1作平行于y轴的直线它与曲线y=f(x)的交点记为p1,重复上面的过程,就在曲线y=f(x)上得到点列p1,p2,……，如图４.１，不难知道，这些点的横坐标构成的序列x0,x1,x2,……，xn……就是迭代序列.若迭代序列收敛,则点列p1,p2,……趋向于y=f（x）与y=x的交点p*，因此迭代序列是否收敛，可以在图上观查出来，这种图因其形状像蜘蛛网而被称为“蜘蛛网”图。
数学实验迭代：分形
迭代：分形姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形，而这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形不断修改得到的。
其中最有代表性的图形是Koch曲线，Koch曲线的构造方式是：给定一条直线段F，将该直线段三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形1，然后再对图形1中的每一小F = liuFu段都按上述方式修改，以至无穷。
则最后得到的极限曲线• 即是所谓的Koch曲线。
生成元：Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段八用一条折线代替，我们称为该分形的生成元。
分形的基本特性完全由生成元确定，因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。
Julia集绘制方法：（1）设定初值p, q, —个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b，和使用的颜色数（如K=16）（或者给定灰度级L）；（2）设定一个上界值绘吟伽仙冷）；（3）将矩形区域小H X 丫 z 分成“ b 的网格，分别以每个网格点（I 「，2M5j = -M + ------- x j值g “利用riter 做迭代（实际上，只需对满足 「’汀汁的初值点 做迭代）。
如果对所有则将图形的门门像素点用黑 色显示，否则，如果从迭代的某一步『开始有"，则用“ modK 种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）Mandelbrot 集绘制方法：设定一个最大的迭代次数 N ，图形的分辨 率的大小a, b,和使用的颜色数（如K 二佝（或者给定灰度级L ）；（2） 设定一个上界值，「；（ 3）将矩形区域 「 E ⑴I r r..分成 |…作为参数值』W 厂利用riter 做迭代（实际上，只需对£灶1的初值点做迭代），每次迭代的初值均取 为心八皿‘门。
牛顿迭代法 分形
牛顿迭代法分形牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方法来求解方程的数值解的方法。
该方法的核心思想是通过初始猜测，通过一系列的迭代计算，逐渐逼近方程的解。
牛顿迭代法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，特别是在非线性方程的求解方面，具有较高的效率和精度。
最初由牛顿在17世纪提出的牛顿迭代法，是一种使用切线来近似曲线的方法，基于泰勒级数展开。
假设我们要解方程f(x)=0，其中f(x)是一个连续可微的函数，且在方程的解附近有唯一解。
我们可以通过初始猜测x0，使用切线逼近真实的解，不断进行迭代，直至收敛于真实的解。
具体的迭代步骤为：给定初始猜测x0，然后计算切线的斜率f'(x0)，然后求出切线与x轴的交点，即下一个迭代点x1。
这样我们就得到了一个新的近似解x1。
然后继续重复这个过程，计算切线的斜率f'(x1)，求出切线与x轴的交点，得到更接近真实解的近似解x2。
通过迭代计算，我们逐步逼近真实解，并且在迭代过程中可以达到任意精度的要求。
由于牛顿迭代法的收敛速度很快，通常只需要几步迭代就可以达到较高的精度要求。
然而，牛顿迭代法也存在一些问题。
首先，初始猜测的选择可能会对迭代结果产生较大的影响。
不恰当的初始猜测可能导致迭代出现发散甚至振荡。
此外，当函数的导数在某些点上很小或无法计算时，牛顿迭代法可能会失效。
牛顿迭代法的优点在于可以快速逼近方程的解，并且有着较高的精度。
然而，在某些情况下，牛顿迭代法也可能会出现一些不稳定性和局限性。
因此，在实际应用中，我们需要结合具体的问题来选择合适的数值迭代方法。
此外，牛顿迭代法不仅可以用于求解方程，还可以用于优化问题中的最小化和最大化。
在优化问题中，我们需要求解目标函数的最小值或最大值。
通过将求解极值问题转化为求解方程问题，我们可以使用牛顿迭代法来近似地求解最优解。
总之，牛顿迭代法是一种有效的数值迭代方法，用于求解方程和优化问题。
它通过初始猜测和近似曲线的切线来逼近真实的解，具有快速收敛和高精度的特点。
迭代、递归 分形之美
迭代、递归分形之美以迭代、递归分形之美为标题，我将为您展示迭代和递归在分形中的美妙应用。
分形是一种特殊的几何形状，它具有自相似性的特点。
自相似性意味着整个形状的一部分可以看作是整体的缩小版。
而迭代和递归是实现分形的重要方法。
我们来了解一下迭代。
迭代是通过重复执行某个过程来逐步逼近目标的方法。
在分形中，我们可以通过迭代来构建出复杂而美丽的图案。
一个经典的例子是谢尔宾斯基三角形。
我们可以从一个等边三角形开始，然后将其分割成四个小三角形，再将其中的三个小三角形作为新的起点，重复这个过程，直到达到预定的层数。
通过这种迭代的方式，我们可以得到一个越来越接近谢尔宾斯基三角形的图案。
接下来，让我们来介绍递归。
递归是指一个过程或函数在其定义中直接或间接地调用自身的方法。
递归在分形中的应用也是非常广泛的。
一个经典的例子是科赫曲线。
我们可以从一条线段开始，将其分成三等分，然后将中间那段线段转化成一个等边三角形的两条边，接着对另外两段线段进行相同的操作。
通过不断地递归调用这个过程，我们可以得到一个越来越接近科赫曲线的图案。
迭代和递归在分形中的应用不仅仅局限于几何图形，还可以扩展到其他领域。
例如，分形树是一种常见的分形结构，它模拟了树木的生长过程。
我们可以通过迭代和递归来模拟树枝的生长，并且可以根据不同的参数调整树木的形态，使分形树呈现出不同的美感。
迭代和递归还可以应用于图像生成、音乐创作等艺术领域。
通过在图像的像素点上进行迭代运算，我们可以生成出绚丽多彩的图案。
而在音乐创作中，通过递归地运用一些音乐元素，我们可以创作出富有层次感和变化的音乐作品。
迭代和递归不仅仅是一种算法或方法，更是一种思维方式。
它们的应用不仅仅局限于分形，还可以在许多其他领域中发挥重要作用。
通过迭代和递归，我们可以创造出独特而美妙的事物，展现出分形之美。
迭代和递归在分形中的应用为我们带来了无尽的美妙。
通过不断重复和自我调用，我们可以创造出具有自相似性的复杂图案，展现出分形的奇妙魅力。
系统、迭代、分形、混沌、秩序
系统、迭代、分形、混沌、秩序现代学术曾经深信的那个实在性已经瓦解，一个功能性的本体正在显现。
上帝，自性，常道，等都是不同的古老文化体系对于世界本质的一种功能性解释。
而现代学术的发现似乎正在为古人的观点作注脚。
１、系统：宇宙中的一切统一于一个绝对的系统。
按照现有的系统学的概念，这是无法理解的。
现代学术对于系统的定义只是外观和组成性的描述，而不是功能性的。
对于系统所产生的现象来说，系统只是一组相互关联的功能作用。
至于这些功能的技术实现手段，则是术的问题。
现代学术从逻辑上也认可一个什么都没有，什么都不是的绝对空无之态。
这个态中国古代叫做无极，从这个态能够最自然生成的只能是两种完全对称的功能，这叫做两仪之态。
甚至两仪也会显得生硬，才会有四象和八卦的产生，三个层次的八卦整体作为一个态，相对于无极就是绝对最小的差别了。
从无极态产生任何所谓的实在性，都会产生逻辑矛盾，还会被再次追问这个实在性的组成。
老子的道法自然，就是说明八卦这个系统是无极的自然产物。
易经有：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶生大业。
老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和。
易经的八卦整体和老子的一二三，都是对宇宙本体的说明。
易经的吉凶生大业和老子说的万物负阴而抱阳，都是指现象由两类相互作用的本体功能的作用产生和支撑。
易经中的太极是阴阳交替，老子的常道则是有无相生，都是两种对称功能互根互生，交变感应的说明。
是一种对称功能周行不殆的运行模式，也是从一个单态生成动态的最小差别模式。
按照太极模式由无极的单一态中分形出来的两仪、四象、八卦这个功能组合态，就是宇宙的最小系统。
这里的最小，表示这个系统的规定最少。
最少规定的系统，才会产生具有最大的可能性的现象。
两种正交的功能，就是佛家自性中的见相二分，也是易经中的阳和阴，同时也是老子第一章所说的常无和常有。
老子的无名天地之始，就是易经的乾知大始；老子的有名万物之母，就是易经的坤作成物。
2020年华工数学实验实验报告 实验四迭代与分形
制出它的图形。
3.对一个等腰直角三角形，取三条边的中点相连，得到三个与原三角形相似但边
长缩小 1/2 的等腰直角三角形，迭代一次变成下图 3-23，继续迭代得到分型图。
图 3-23 等腰直角三角形一次迭代
三、 实验过程
1. 编程绘制 Minkowski 香肠图形，并计算它的分形维数
代码如下：
function frat1(k) %显示迭代k次后的Minkowski曲线图
p=[0,0;10,0];
%存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标
n=1;
%存放线段的数量，初始值为1
A=[0,1;-1,0];
%用于计算新的结点
for s=1:k
%实现迭代过程，计算所有的结点的坐标
j=0;
for i=1:n
%每条边计算一次
q1=p(i,:);
%目前线段的起点坐标
q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标
p=[r;q2];
%重新装载本次迭代后的全部结点
end
plot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图
axis equal
%各坐标轴同比例
结果如下图：
令 k=1，即运行 frat1(1)，可得下图
Minkowski 香肠 1 次迭代 令 k=2，即运行 frat1(2)，可得下图
Minkowski 香肠 2 次迭代 令 k=3，即运行 frat1(3)，可得下图
%新4点存入r
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d-d*A'; %新5点存入r，A'即转置
j=j+1;r(j,:)=q1+3*d-d*A'; %新6点存入r,A'即转置
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实验名称：迭代与分形
专业：信息工程
班级：09级四班
姓名：
序号：29，38
提交日期：2011年4月29日
一、实验目的与要求
1．认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；
2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；
3．掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；
4．提高对数据进行分析与处理的能力。
二、问题描述
几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。
传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。
但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。
虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。
如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。
三、问题解决
（1）对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
（2）自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。
1、程序如下：
function plottrkoch(a,k)％函数，a为迭代0次的三角形的边长，k为迭代
次数
p=[0 0;a 0;a/2 a/2*sqrt(3);0 0];
n=3;
A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)];
for s=1:k
j=0;
for i=1:n
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:);
d=(q2-q1)/3;
j=j+1;r(j,:)=q1;
j=j+1;r(j,:)=q1+d;
j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A';
j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;
end
n=4*n;
clear p
p=[r;q2];
end
mianji=sqrt(3)*(1+3*(1-(4/9)^k)/5)/4*a^2％计算迭代k次后的面积大小weishuD=log(4)/log(3)％计算维数
plot(p(:,1),p(:,2))
axis equal
当k=1时
当k=3时
当k=5时
因为是Koch曲线，所以维数d=ln4÷ln3=1.2619
计算面积：
假设最初的正三角形边长为1，则其周长为，面积为。
在生成六角形时，新生成三角形的边长为原边长的，新生成的三角形面积为原三角形面积的，因为共生成了三个新三角形
故总周长，总面积
同理，
依次进行下去，
，
2、程序如下：
function plottrkoch(k)
p=[0 0;10 0;5 5*sqrt(3);0 0];
n=3;。