第04讲 (2010)迭代 混沌 分形 综合

4
取其它的初值做试验 初值
-40000 -500
收敛性
收敛于17 收敛于17
得到收敛点的迭代次数
16 16
-20
0 4
收敛于17
收敛于17 收敛于17
16
17 17
4.9
5 5.1
收敛于17
收敛于5 收敛于17
19
0 19
6
20 100 1000
收敛于17
收敛于17 收敛于17 收敛于17
17
12 14 14
将上述映射反复作用可得序列：
x0 , x1 Ax0 , x2 Ax1 ,, xn1 Axn ,
我们将这一过程称为线性映射的迭代，其中矩 阵A称为迭代矩阵 。
26
(2)天气问题
问题1 某地区的天气可分为两种状态：晴、阴雨. 若今天的天气为晴，则明天晴的概率为3/4，阴雨的 概率为1/4；如果今天为阴雨天，则明天晴的概率为 7/18，阴雨的概率为11/18。我们可以用一矩阵来表 示这种变化，矩阵称为转移矩阵（这些概率可以通 过观察该地区以往几年每天天气变化的测量数据来 确定）。 1 0
20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
21
8.二维迭代与分形
由两个二元函数f ( x, y ),g ( x, y ), 取初值 (x0 , y0 )构成的迭代 xn 1 f ( xn , yn ) yn 1 g ( xn , yn ) 称为一个二维迭代
(1)对任意的x (a, b), f ( x) (a, b)
(2) f ( x)在(a, b)内可导, 且存在L使得 f ( x) L 1
则当初值x0 (a, b)时,由f ( x)所生成的迭代序列收敛
问题1：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样的 条件？
2
3.分式线性函数的迭代 25 x 85 例1 函数f ( x) , 先取初值x0 5.5 x3 判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？ f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); %先定义函数 syms x; x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
14
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[-3.5,0]); ezplot(f(x),[-3.5,0]); axis([-3.5,0,-3.5,0]); hold off
迭代出现了混沌
15
6.人口增长的Logistic模型
xn1 xn (1 xn )
17
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[-3.5,0]); ezplot(f(x),[-3.5,0]); axis([-3.5,0,-3.5,0]); hold off
18
7. Feigenbaum图 对于Logistic 映射，取若干个值，我们通过离 散图形观察迭代的收敛情况。 一个试验：首先取的值为3，在(0，1)中随机 取一数x0作为初值进行迭代，共迭代300次左右， 丢弃起始的100次迭代的数据，在图上绘出所有的 点( , xn )) (>100)。 然后慢慢地增加值，每增加一次，都重复前 面的步骤，一直增加到 = 4为止，这样得到的图 形，称为Feigenbaum图。
第四讲
迭代、混沌与分形
综合实验
一
1、 定义
函数的迭代、混沌与分形
给定某个初值，反复作用以同一个函数的过程 称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 f ( x0 ), x2 f ( x1 ),, xn f ( xn1 ), .
它生成了一个序列{ x n }，称为迭代序列。
1
2、迭代序列的收敛性
f ( x) x(1 x) (0 x 1)
11
3x 例2 函数f ( x) 2 sin , 取初值x0 0 2 判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？
f=inline('(-2+sin((3*x)/2))'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=0; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
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例3 函数f ( x, y) y sin x与g ( x, a) a x
取a =3.1、初值为(1.2,0)
a=3.1;xn=1.2;yn=0; for n=1:100 xN=xn; yN=yn; xn=yN-sin(xN);yn=a-xN; plot(xn,yn,'k*'); axis([-5,7,-5,7]); hold on; pause(0.1); end; hold off
f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=5.5; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
5
结论：只要初值不取为3，迭代序列都收敛，并 且收敛速度较快；只要初值不取为5，迭代序列总 收敛于17。 易知，f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥点， 17称为吸引点。 问题2 为何17是吸引点，5是排斥点？
6
4.迭代的可视化（蜘蛛网图） 对函数的迭代过程,我们可以用几何图像来 直观的显示它。 在xoy平面上，先作出函数y=f(x)与y=x的图 形，对初值x0，在曲线y=f(x)上可确定一点P0， 它以x0为横坐标，过P0引平行于x轴的直线，设 该直线与y=x交于Q1 点。 。 过Q1 点作平行于y 轴的直线，它与曲线 y=f(x)的交点交于P1点。 重复上面的过程，就在曲线y=f(x)上得到点列 P1，P2，P3…。 。
13 4
试根据这些数据来判断该 地区的天气变化情况。
27
(0) 设某天晴天的概率为p1(0) , 下雨的概率p2 ,
这天的天气状态用向量p
(0)
( p , p ) 来表示
(0) 1 (0) T 2
( k 天之后的天气状态用向量p ( k ) ( p1( k ) , p2k ) )T 来表示
则由全概率公式可以得到：
( k ) 3 ( k 1) 7 ( k 1) p1 4 p1 18 p2 p ( k ) 1 p ( k 1) 11 p ( k 1) 1 2 2 4 18 (k 1, 2,)
判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？
f=inline('(-2+sin(5*x))'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=-0.7; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
2
4
6
8
10 x
12
14
16
18
20
10
5. 认识混沌
迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 1. 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性重复
x0 , x1 ,, x N , x N 1 ,, x N k 1 x N , x N 1 ,, x N k 1
k称为该序列的周期 2. 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌。 例
23
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
24
9.线性映射的迭代
(1)定义 关系式
( ( x1( n 1) a11 x1( n ) a12 x2n ) a1m xmn) ( n 1) ( ( x2 a21 x1( n ) a22 x2n ) a2 m xmn) ( ( ( xmn 1) am1 x1( n ) am 2 x2n ) amm xmn) ( ( 将向量xn ( x1( n ) , x2n ) , , xmn ) )T ( ( 映射为向量xn 1 ( x1( n 1) , x2n 1) , , xmn 1) )T
3
迭代次数 n 迭代序列 x n 1 6.17647 2 7.5641 3 9.85437 4 12.5529 5 14.7125 6 15.9668 7 16.5642 8 16.8218 9 16.9281 10 16.9711
迭代次数 n 迭代序列 x n 11 16.9884 12 16.9954 13 16.9981 14 16.9993 15 16.9997 16 16.9999 17 17. 18 17. 19 17. 20 17.
7
不难知道，这些点的横坐标构成的序列x1，x2， x3，…，就是迭代序列 。
若迭代序列收敛，则点列 P1，P2，P3…趋向 于曲线曲线=f(x)与y=x 交点P*，因此若迭代序 列是否收敛，可以从图形上观察出来。
这种图称为迭代的蜘蛛网图。
8
作出例1 的蜘蛛网图。
25 x 85 函数f ( x) , 初值x0 5.5 x3
19
logistic=inline('u*x*(1-x)'); x0=0.5; for u=3.0:0.01:4 for i=1:300 x0=logistic(u,x0); if i>100 plot(u,x0,'k','linewidth',1); hold on; end; end; end; hold off
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(25 x-85)/(x+3) 20
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[0,20]); ezplot(f(x),[0,20]); axis([0,20,0,20]); hold off
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
f ( x) x(1 x) (0 x 1)
称为Logistic映射。
16
例4
f ( x) x(1 x) (0 x 1) x0 0.7
(1) 3.3
f=inline('(-2+sin(5*x))'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=-0.7; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
写成矩阵形式
xn1 Axn
25
其中xn , xn 1分别为( x , x ,, x )
(n) 1 ( n) 2
( n) T m
( ( 与( x1( n 1) , x2n 1) ,, xmn 1) )T A为m×m矩阵
形如 y=Ax 的映射称为线性映射。
(0) (0) 给出一个初始向量x0 ( x1(0) , x2 ,, xm )T
12
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[-3.5,0]); ezplot(f(x),[-3.5,0]); axis([-3.5,0,-3.5,0]); hold off
迭代出现循环
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例3 函数f ( x) 2 sin 5 x, 取初值x0 0.7