koch迭代分形
计算机图形学实验报告(分形图)
实验六：分形图的生成班级11信计2班学号20110502078 姓名刘昱丞分数一、实验目的理解分形图生成的基本原理，掌握几种常见的分形图生成算法，利用TurboC实现Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法。
二、实验内容1.、利用Koch 曲线生成规则，在屏幕上生成一段Koch 曲线。
2/、利用Mandelbrot Set 生成规则，在屏幕上生成可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)三、实验步骤（1）预习教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)的生成原理。
（2）仿照教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法生成算法，使用TurboC实现该算法。
（3）调试、编译、运行程序。
四、实验要求在下次实验时提交本次试验的实验报告（实验报告包括实验目的、实验内容、实验实现过程、源程序、实验结果、实验体会）。
五、实验过程( 1 ) Koch 曲线的生成规则它的构造是：迭代初始把原线段去掉中间的三分之一，代之以底边在被去线段上的等边三角形的两腰；以后每一步的迭代都是这样的重复。
从以上过程可以清楚地看出，Koch曲线（其它分形集也是如此）可以由简单的图，称为生成元，迭代产生。
在这里，Koch曲线的生成元是：六、实验代码1/、Koch曲线源程序：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <conio.h>#include <graphics.h>#define rad 0.0174532925#define NUMBER 24koch(ax,ay,bx,by)int ax,ay,bx,by;{ float cx,cy,ex,ey,dx,dy,arf,le,c;c=1000; /*30000,20000,10000,5000,1000 tiao jie ci shu */if ((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay)<c)line(ax,ay,bx,by);else{cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax)/3;ey=by-(by-ay)/3;koch((int)(ax),(int)(ay),(int)(cx),(int)(cy)); /* koch(ax,ay,cx,cy); */ koch((int)(ex),(int)(ey),(int)(bx),(int)(by));le=sqrt((ex-cx)*(ex-cx)+(ey-cy)*(ey-cy)); /* koch(ex,ey,bx,by); */ arf=atan((ey-cy)/(ex-cx));if((arf>=0 &&(ex-cx)<0)||(arf<=0 &&(ex-cx)<0))arf=arf+3.1415;dy=cy+sin(arf+3.1415/3)*le;dx=cx+cos(arf+3.1415/3)*le;koch((int)(cx),(int)(cy),(int)(dx),(int)(dy)); /*koch(cx,cy,dx,dy);*/ koch((int)(dx),(int)(dy),(int)(ex),(int)(ey)); /* koch(dx,dy,ex,ey); */ }}main(){float xa1,xb1,ya1,yb1;float xa,xb,ya,yb;float dex,dey,dx,dy;float x,y,s1,s2;int steps,k;int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,"C:\\JMSOFT\\DRV");cleardevice();setbkcolor(BLUE);/* line(400,400,600.4,540.6); */settextstyle(1,0,3);outtextxy(100,100,"Shijiazhuang University");/* koch(340,150,100,150) ; */koch(100,300,500,300) ;getch();closegraph();return 0;}输出结果为：2.、可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集）源程序：#include <graphics.h>#include <conio.h>// 定义常量#define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细#define MAXCOLOR 64 // 颜色数/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色及初始化颜色/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色int Color[MAXCOLOR];// 初始化颜色void InitColor(){// 使用HSL 颜色模式产生角度h1 到h2 的渐变色int h1 = 240, h2 = 30;for(int i=0; i<MAXCOLOR/2; i++){Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);}}/////////////////////////////////////////////////// 绘制Mandelbrot Set (曼德布洛特集)/////////////////////////////////////////////////void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy){COMPLEX z, c;int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < ITERA TIONS; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= ITERA TIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);}}}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口及颜色initgraph(640, 480);InitColor();// 初始化Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系double fromx, fromy, tox, toy;fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);// 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域MOUSEMSG m;bool isLDown = false;int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区while(!kbhit()){m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息switch(m.uMsg){// 按鼠标中键恢复原图形坐标系case WM_MBUTTONUP:fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_MOUSEMOVE:if (isLDown){rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);seltx = m.x;selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);}break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONDOWN:setcolor(WHITE);setwritemode(R2_XORPEN);isLDown = true;selfx = seltx = m.x;selfy = selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONUP:rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);setwritemode(R2_COPYPEN);isLDown = false;seltx = m.x;selty = m.y;if (selfx == seltx || selfy == selty) break;// 修正选区为4:3int tmp;if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;} if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) ){selty += (3 - (selty - selfy) % 3);selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;}else{seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;}// 更新坐标系double f, t;f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;fromx = f;tox = t;f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;fromy = f;toy = t;// 画图形Draw(fromx, fromy, tox, toy);}}getch();closegraph(); }输出结果为：。
分形曲线与面积计算-精品
sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos
(1, 0)
1
0
cos sin
(0, 1)
0 sin
1
cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
10/11
二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
2017年-matlab实验内容
2017年文化素质课 MATLAB实验实验一、MATLAB基本操与运算基础【实验目的】〔1〕熟悉MATLAB基本环境，掌握MATLAB变量的使用〔2〕掌握MATLAB数组的创建〔3〕掌握MA TLAB数组和矩阵的运算【实验内容及步骤】熟悉建立数组的方法：逐个元素输入法、冒号法、特殊方法〔使用函数linspace建立〕1、有关向量、矩阵或数组的一些运算（1）设A=15；B=20；求C=A+B与c=a+b？（2）设A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]；求A*B与A.*B？（3）设a=10，b=20；求i=a/b=？与j=a\b= ？（4）设a=[1 -2 3;4 5 -4;5 -6 7]（5）在MATLAB命令行窗口运行A=[1,2;3,4]+i*[5,6;7,8]；看结果如何？如果改成运行A=[1,2;3,4]+i[5,6;7,8]，结果又如何？（6）请写出完成以下计算的指令：a=[1 2 3;3 4 2;5 2 3]，求a^2=？,a.^2=？（7）有一段指令如下，请思考并说明运行结果及其原因clearX=[1 2;8 9;3 6];X( : ) %转化为列向量（8）写出以下指令的运行结果>> A = [ 1 2 3 ]; B = [ 4 5 6 ];>> C = 3.^A>> D = A.^B2、设有矩阵A和B，A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15;16 17 18 19 20;21 2223 24 25]，B=[3 0 16;17 -6 9;0 23 -4;9 7 0;4 13 11]1）求它们的乘积C2）将矩阵C的右下角3x2子矩阵赋给D3、完成以下操作1〕求[100，999]之间能被61整除的数及其个数〔提示：先利用冒号表达式，再利用find和length 函数。
迭代分形
• 一些实例 Cantor 树
w j ( Z ) ( Z 2Z j ) / 3, j 1,2,3
p1 p2 p3 1 / 3
龙曲线
w1 ( Z ) sZ 1, w2 ( Z ) sZ 1
p1 p2 1 / 2, s 0.5 0.5i
B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van
Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal)
英国的海岸线有多长？
• B. B. Mandelbrot
• 分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数
0
Z x i y, c p i q
则（2）变为
xn 1 xn 2 yn 2 p yn 1 2 xn yn q (3)
• Julia 集的绘制方法： 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图 形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值
函数的迭代，不动点和有关的作图 介绍浑沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度 分布等方法来研究浑沌
●
浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些 普适结构 计算机与科学研究(即使是数学)
●
问题的提出
●
什么是浑沌?
出现在各个领域的一种现象:数学、物理、
生物、金融、经济、管理等等： 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 东南亚金融危机爆发 “侏罗纪公园”中的恐龙重现
In[1]:= a=1.029; b=1.48654*10^(-11); f1[x_]:=a*x-bx^2;
For[n=1979; x[1979]=9.7542*10^8, n<=2002, n++, x[n+1]=f1[x[n]]; Print[n+1, “ ”，x[n+1]/10^8]]
分形与迭代
实验三迭代与分形一、实验目的与要求1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构；4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、问题描述1．对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
2．自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。
三、问题分析1．第一题要求我们利用一个等边三角形然后在三角形的基础上利用理论课上的Koch曲线的画法，产生一朵Koch雪花，由于Koch雪花的产生相当于将三条等长的直线分别产生的Koch曲线按照等边三角形的坐标形式组合起来然后在同一个坐标系中表示出来，这就形成了Koch雪花图案。
四、背景知识介绍1．什么是迭代迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。
我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。
(1)图形迭代。
给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列：R（F0）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，…(2)函数迭代。
给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列：f（x）＝x1，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，…2．p lot函数介绍plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。
基本调用格式如下：(1)plot(Y,LineSpec)。
其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。
本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。
当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。
(2) plot(X,Y)。
其中，X、Y一般是相同长度的数组。
Koch分形雪花图的面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12。
算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q1P3Q P Q3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
koch曲线 迭代函数
Koch曲线是一种经典的分形图形，由瑞典数学家Helge von Koch于1904年提出。
科赫曲线的生成过程是一个递归的过程，可以由以下步骤描述：首先取一条长度为1的线段，然后将其等分为三段，中间那段用等边三角形替换，之后对每个小线段进行同样的操作。
具体来说，迭代步骤如下：
1. 取一条长度为1的线段；
2. 将线段等分为三等分，中间的那一段不变，其余两段分别替换为两个等边三角形；
3. 对新得到的每一段（包括两个等边三角形和中间的线段）进行相同的操作。
这个过程会一直重复进行，直到线段的长度变为0为止。
这样，我们就可以得到一条科赫曲线。
初始线的起点和终点可以是任意的，例如[0,0]和[1,0]。
此外，我们也可以通过编程来绘制科赫曲线。
例如在Python中，我们可以使用turtle库来实现；在MATLAB中，也有专门的函数用于绘制科赫曲线。
Koch曲线
Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。
从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。
1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。
设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。
现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。
显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。
算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。
Koch分形曲线
Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。
从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。
1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。
设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。
现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。
显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。
算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。
分形曲线及matlable算法
分形曲线及matlable算法0 koch分形曲线在线演示从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成koch 分形曲线。
算法分析：由一条线段产生四条线段，故算法中由n 条线段迭代一次后将产生 4n 条线段。
算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。
第一个点位于线段三分之一处，第三个点位于线段三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转 60 0 而得。
正向旋转由正交矩阵实现。
MATLAB 程序如下clearp=[0 0;10 0];n=1;A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)];for k=1:5j=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=4*n;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2))koch分形图片flash制作源代码第一祯die=4;bi=1color=0x000000alpha=100stop();第二祯_root.createEmptyMovieClip("koch",1); a=new Array(1025); b=new Array(1025);c=new Array(1025);d=new Array(1025);l=0;n=1;a[1]=100;b[1]=200;a[2]=500;b[2]=200;c[1]=100;d[1]=200;c[2]=500;d[2]=200;for(m=1;m<=die;m++){j=0;with(_root.koch){for(k=1;k<=n;k++){x1=c[k];y1=d[k];x2=c[k+1];y2=d[k+1];j=j+1;a[j]=x1;b[j]=y1;j=j+1;a[j]=x1+(x2-x1)/3;b[j]=y1+(y2-y1)/3;j=j+1;a[j]=x1+(x2-x1)/3+((x2-x1)/3)*Math.cos(Math.PI/3)-((y2-y1)/3)*Math.sin(Math.PI/3); b[j]=y1+(y2-y1)/3+((x2-x1)/3)*Math.sin(Math.PI/3)+((y2-y1)/3)*Math.cos(Math.PI/3);j=j+1;a[j]=x1+2*(x2-x1)/3;b[j]=y1+2*(y2-y1)/3;j=j+1;a[j]=x2;b[j]=y2;l=j;}for(j=1;j<l;j++)< bdsfid="152" p=""></l;j++)<>{if(a[j]==a[j+1]&&b[j]==b[j+1]){ g=j;for(;j<l;j++)< bdsfid="156" p=""></l;j++)<>{a[j]=a[j+1];b[j]=b[j+1];}j=g+1;}}y=l;for(f=1;f<=y;f++){c[f]=a[f];d[f]=b[f];}}n=4*n;}第三祯//k1=1;i=1;_root.koch.onEnterFrame=function() {with(_root.koch){ //for(;i<=k1*10&&i<=y;) {lineStyle(bi,color,alpha);moveTo(c[i-1],450-d[i-1]);lineTo(c[i],450-d[i]);trace(i-1);trace(d[i-1]);i++;}//k1++;if(i>=y){delete _root.koch.onEnterFrame;}}}第四祯_root.koch.clear();stop();1 矩形分形曲线1在线演示顶部从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个正方形的三边代替，形成几字形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个正方形的三边代替替，再次形成新的图形如此迭代，形成矩形分形曲线 1 。
数学实验迭代：分形
迭代：分形姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形，而这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形不断修改得到的。
其中最有代表性的图形是Koch曲线，Koch曲线的构造方式是：给定一条直线段F，将该直线段三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形1，然后再对图形1中的每一小F = liuFu段都按上述方式修改，以至无穷。
则最后得到的极限曲线• 即是所谓的Koch曲线。
生成元：Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段八用一条折线代替，我们称为该分形的生成元。
分形的基本特性完全由生成元确定，因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。
Julia集绘制方法：（1）设定初值p, q, —个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a，b，和使用的颜色数（如K=16）（或者给定灰度级L）；（2）设定一个上界值绘吟伽仙冷）；（3）将矩形区域小H X 丫 z 分成“ b 的网格，分别以每个网格点（I 「，2M5j = -M + ------- x j值g “利用riter 做迭代（实际上，只需对满足 「’汀汁的初值点 做迭代）。
如果对所有则将图形的门门像素点用黑 色显示，否则，如果从迭代的某一步『开始有"，则用“ modK 种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）Mandelbrot 集绘制方法：设定一个最大的迭代次数 N ，图形的分辨 率的大小a, b,和使用的颜色数（如K 二佝（或者给定灰度级L ）；（2） 设定一个上界值，「；（ 3）将矩形区域 「 E ⑴I r r..分成 |…作为参数值』W 厂利用riter 做迭代（实际上，只需对£灶1的初值点做迭代），每次迭代的初值均取 为心八皿‘门。
加权Koch网络的分形与重分形性质及其Laplace特征值
3.2.2 结果分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第四章 复杂网络 Laplace 算子的谱分析
21
4.1 Laplace 算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Finally, in the thesis, we study the spectral theory of the revised Laplace operator. Based on the theory of revised Laplace spectrum, we look at the eigenvalues of these two networks numerically. We found that the relationship between the second eigenvalue and the parameter ω of weighted Koch networks is exponential. We also found the maximum eigenvalues, the sum of its non-negative eigenvalues and the energy are independent on the parameter ω.
第二章 加权 Koch 网络的分形特性
4
2.1 加权 Koch 网络模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 加权 Koch 网络的常用统计量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Koch分形曲线
在新的图形中，有将没一直线段中间的三 分之一部分都用一个等边三角形的另两边 代替，得到15个结点的图形
• 每迭代一次，曲线的长度增加4/3。 • 下面是迭代5次的图形。
算法的程序设计见下页的M-文件
p=[0,0;10,0]; a=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];
练习
• 以正三角形为基础图形，在每一个边上 构造Koch曲线，得到Koch雪花。
结点 p(4:4:4*n-4,:)=q+2*d; end plot(p(:,1),p(:,2)) %插入第三组结点
算法的设计
(1) Q 1 P 1 ( p 2 P 1) / 3 ( 2 ) Q 3 P 1 2 ( P 2 P 1) / 3 ( 3 ) Q 2 Q 1 ( Q 3 Q 1) A ' ( 4 ) P 5 P 2 ; P 2 Q 1; P 3 Q 2 ; P 4 Q 3;
Koch分形曲线
一、分形的概念
• 把形态、功能和信息方面具有自相似性的对象 称为分形(fractal)。 • Koch曲线是最简单的分形曲线，从一条直线段 开始，将中间的三分之一部分用一个等边三角 形的另两条边代替，得到5个结点的图形
（ 0, 0),( 3.3333, 0),(5.0000, 2.8868),(6.6667,0),(10.0000,0)
• 在第三步中的矩阵A为
cos A sin
3
Байду номын сангаас
sin
3
3 cos 3
• 由上面的程序，从{P1,P2}得到一个新的5 个顶点的数组{P1,P2,P3,P4,P5},就是我们 的生成元，然后对每一个线段{Pi,Pi+1} 再依次进行新的生成过程，得到一个17 个顶点的数组，第n步得到4n-3个顶 点……直至无限，就得到Koch曲线。
科赫雪花周长推导公式
科赫雪花周长推导公式1.简介科赫雪花是数学中的一种分形图形，由瑞典数学家科赫（He lg ev on Ko ch）于1904年发现并研究。
科赫雪花的特点是形态美观、无限复杂而且周长无限增长。
本文将介绍科赫雪花的构造方法，并推导出其周长的公式。
2.构造方法科赫雪花的构造方法基于迭代的原理，首先从一个长度为L的线段开始，然后将其分成三等分，中间段取代为一个正三角形的两条边，得到一个具有四个等长度的线段的闭合图形。
接下来，对于每个线段重复同样的操作，迭代地进行下去，即可得到科赫雪花。
3.推导过程3.1单次迭代假设初始线段的长度为L，通过分割成三等分，得到每个线段的长度为L/3。
将中间段取代为一个正三角形的两条边后，每个线段的长度变为L/3，而图形的周长增加了2L/3。
3.2多次迭代在每次迭代后，图形的周长增加了原始线段长度的2/3倍。
假设进行n次迭代后，图形的周长为C n，则有公式：C n=(2/3)^n*C0其中C0是初始线段的长度。
3.3极限周长当迭代次数趋近于无穷大时，即n→∞，公式中的(2/3)^n趋近于0，因此有：l i m(n→∞)Cn=l im(n→∞)(2/3)^n*C0=0即科赫雪花的周长在无穷次迭代后趋近于0。
4.结论根据推导可知，科赫雪花的周长是无限增长的，但在无穷次迭代后将接近于零。
这个结果令人惊讶，因为科赫雪花由一条有限长度的线段构成，但其周长能够趋近于零。
科赫雪花是一种奇特的图形，它的构造方法简单而美妙，其周长推导公式也说明了其无限复杂性。
通过探索科赫雪花，我们可以更深入地理解数学中的分形概念，并欣赏到数学之美。
希望本文对读者能够提供关于科赫雪花周长推导的基本了解。
对于更深入的研究和应用，读者可以进一步探索相关的数学原理和实际应用。
vonkoch曲线与皇冠分形曲线分形树枝法度模范（含注释）[总结]
![vonkoch曲线与皇冠分形曲线分形树枝法度模范（含注释）[总结]](https://img.taocdn.com/s3/m/8dd2cf77b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8c.png)
1 V on Koch 曲线与皇冠分形曲线的构造和算法1．V on Koch 曲线xuehua[x_List]:=Module[{a={},n=Length[x],i},For[i=1,i<n,i++,a=Join [a,{x[[i]],x[[i]]2/3+x[[i+1]]1/3,(x[[i]]2/3+x[[i+1]]1/3)+{{Cos[-2Pi/3],Sin[-2Pi/3]},{-Sin[-2Pi/3],Cos[-2Pi/3]}}.(x[[i]]-x[[i+1]])1/3,x[[i+1]]2/3+x[[i]]1/3,x[[i+1]]}]];a]Show[Graphics[Line[Nest[xuehua,{{0,0},{1,0}},4]]],AspectRatio->Automatic];Show[Graphics[Line[Nest[xuehua,{{0,0},{1,0},{1/2,3^(1/2)/2},{0,0}},4]]],AspectRatio->Automatic]运行可得图chap10.1中level 4和雪花所示的图形．图1 V on Koch 曲线令E 0为单位长度的直线段，称为初始元，将E 0三等分，把中间一等份挖掉，代之以无底的等边三角形，得到E 1 (如图chap10.1中level 1所示的部分，E 1 称为V on Koch 曲线的主型)，即得到由4条线段构成的折线，然后对折线的每一段重复以上过程，重复次后，将得到由4n 条线段组成的折线E n ，当+∞→n 时，4n一致收敛于平面上的一条连续但处处不光滑的曲线E ，这条曲线E 就称为V on Koch 曲线．它的相似维为：=s D ln4／ln3．如果把3条同样的V on Koch 曲线连接起来，就得到雪花曲线(如图chap10.1所示)．有趣的是，雪花曲线有无限的边长，但包围有限的面积．据V on Koch 曲线的生成过程，用Nest[ ]函数作迭代运算，再用Line[ ]函数作出相应的折线。
分形理论概述
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
电子科技大学数学实验实验报告(含详细程序和实验数据)-Koch分形雪花,计算瑞典国土,计算我国海岸线长度
Koch 分形雪花面积计算的数学实验报告2012年4月6日绘制Koch 分形雪花，分析其边数及面积规律实验内容取周长为10的正三角形为初始元。
第一步（N=1）：将边长三等分，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元。
原三角形每条边都用生成元替换,得到具有6个凸顶点的12边形。
第二步（N=2）：对第1步得到的图形，同样将其边长三等分，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元。
原12边形的每条边都用生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。
如此方法，一直做下去，当∞→N 时便得到了Koch 分形雪花。
实验目的1.算法描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图Kn 的边数为143-⨯=n n L3.求Koch 分形雪花图Kn 的面积)(lim n N K area ∞→实验原理1. Koch 分形雪花的绘制过程与Koch 曲线的构造过程类似。
事实上，Koch 分形雪花是由三条三次Koch 曲线组成的。
Koch 曲线的构造：由一条线段产生四条线段，由n 条线段迭代一次后将产生4n 条线段，算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。
第一个点位于线段的三分之一处，第三个点位于线段的三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转ο60而得，正向旋转由正交矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-3cos 3sin 3sin3cos ππππ完成。
三条三条三次Koch 曲线由初始向量P 构造。
流程图如下：⑴)/3P －2(P + P ←Q )/3;P －(P + P ← Q 121 31211 ⑵;A ×)Q －(Q + Q ← Q T1312 ⑶．Q ← P ;Q ← P ;Q ← P ;P ← P 342312252.由于Koch分形雪花是封闭的凸多边形，所以边数=顶点数=P矩阵的行数-1。
光学分形实验报告
分形图形学实验报告指导实验报告要求1. 实验名称2. 实验目的、要求3. 实验主要内容（某某算法的实现）4. 实验过程（程序流程图、源代码）5. 实验结果（附上打印的图形）6. 实验小结实验报告一一般分形图形生成实验目的1. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的计算机实现2. 掌握用迭代、递归生成分形实验内容及步骤1、 koch曲线函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）arctan( ) （反正切函数）12、 sierpinski三角形函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）23、 cantor集3实验报告二 l系统语言生成分形图形实验目的1. 掌握用l系统语言生成分形2. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的l系统实现4实验内容及步骤1. 编写程序用l系统语言生成分形图形1) 编写程序生成koch曲线:初始图形是一条线段，生成过程是将线段中间1/3向外折起。
程序伪码如下：kochcurve { ；柯赫曲线angle 6 ；角度增量是60°axiom f ；初始图形是一单位线段f=f+f--f+f ；产生式是将线段中间1/3折起} ；结束2) 用l系统再次生成sierpinski三角。
生成sierpinski三角的伪码如下：hilbert{ ；sierpinski三角，1996-12 angle 4 axiom y ；初始串为任意字母y x=-yf+xfx+fy- ；第一个生成规则y=+xf-yfy-fx+ ；第二个生成规则，由以上规则不断代换 } 3) 模拟草本植物。
注意这里出现了“括号”——可以方便地表示树枝，伪码如下：herbplant { ；生成植物，本程序使用了括号angle 14axiom zz=zfx［+z］［-z］x=x［-fff］［+fff］fx}5篇二：光学实验报告建筑物理——光学实验报告实验一：材料的光反射比、透射比测量实验二：采光系数测量实验三：室内照明实测实验小组成员：指导老师：日期：2013年12月3日星期二实验一、材料的光反射比和光透射比测量一、实验目的与要求室内表面的反射性能和采光口中窗玻璃的透光性能都会直接或间接的影响室内光环境的好坏，因此，在试验现场采光实测时，有必要对室内各表面材料的光反射比，采光口中透光材料的过透射比进行实测。
koch曲线 迭代函数
koch曲线迭代函数摘要：1.引言2.Koch 曲线的概念和特点3.迭代函数的概念和特点4.Koch 曲线与迭代函数的关系5.Koch 曲线在数学和经济学领域的应用6.总结正文：1.引言Koch 曲线和迭代函数是数学领域中两个重要的概念。
它们各自具有独特的特点和丰富的应用，同时在很多方面也存在着紧密的联系。
本文将从概念、特点、应用等方面对两者进行详细的介绍和分析。
2.Koch 曲线的概念和特点Koch 曲线，又称为Koch 曲线迭代，是一种分形曲线。
它是由瑞典数学家Koch 在1904 年提出的，用来描述一种特殊的迭代过程。
Koch 曲线具有以下特点：（1）自相似性：Koch 曲线在不同尺度上具有相似的结构。
（2）无限长：Koch 曲线的长度是无限的，但它的宽度始终保持在一个固定值。
（3）不可微分：Koch 曲线在任意点处的切线斜率都不存在，因此它不是一条光滑的曲线。
3.迭代函数的概念和特点迭代函数是一种特殊的数学函数，它通过对自身进行迭代运算得到新的函数值。
迭代函数具有以下特点：（1）封闭性：迭代函数的值域和定义域相同，即对于任意的函数值，都可以通过迭代得到。
（2）稳定性：迭代函数在某些初始值附近具有稳定性，即经过一定次数的迭代后，函数值会趋于一个稳定的值。
（3）非线性：迭代函数通常是非线性的，即函数值与自变量之间的关系不是线性的。
4.Koch 曲线与迭代函数的关系Koch 曲线和迭代函数在很多方面有密切的联系。
首先，Koch 曲线是一种特殊的分形，它可以通过迭代函数来生成。
其次，Koch 曲线的生成过程本身也是一个迭代过程，它体现了迭代函数的封闭性和稳定性。
最后，Koch 曲线的非线性特点也与迭代函数的非线性特点相一致。
5.Koch 曲线在数学和经济学领域的应用Koch 曲线在数学和经济学领域有着广泛的应用。
在数学领域，Koch 曲线作为一种特殊的分形，被用于研究分形理论、非线性动力学等问题。
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《数学实验》报告
学院：电子与信息学院
专业班级：
学号：
姓名：
实验名称：迭代与分形
实验日期
一、实验目的与要求
1．了解分形几何的基本情况；
2．了解通过迭代方式产生分形图的方法；
3．了解matlab软件中简单的程序结构；
4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；
二、练习
1．对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
2．自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。
三、过程
1.
图一：1次迭代图二：2次迭代图三：6次迭代
原始三角形的边长d=10cm
面积S＝
S0=√3/4d^2 S1=S0+3*√3/4(d/3)^2 S2=S1+12*√3/4(d/9)^2
Sn=Sn-1+3*4^(n-1)*√3/4*(d/3^n)^2
根据等比数列求和可得,n—>∞,Sn=2√3/5d^2
边长放大倍数c=3，相似形个数m=12
所以分维数d=lnm/lnc=ln12/ln3=2.26介于2和3之间
代码如下：
function plotkocht(k) %显示迭代k次后的Koch曲线图
p=[0,0;10,0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标
n=3; %存放线段的数量，初始值为3
A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; %用于计算新的结点
r=[];
r(1,:)=(p(2,:)-p(1,:))*A';
p=[0,0;r;10,0;0,0]; %存放首次迭代的坐标
for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标
j=0; % 思考：可否取为1
for i=1:n %每条边计算一次
q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标
q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标
d=(q2-q1)/3; %取中点坐标
j=j+1;
r(j,:)=q1; %原起点存入r
j=j+1;
r(j,:)=q1+d; %新1点存入r
j=j+1;
r(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入r
j=j+1;
r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r
end %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r
n=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4
clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中
p=[r;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点
end
figure
plot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图
axis equal %各坐标轴同比例
2．
迭代规则：对一个正三角形，首先将它分成4个小正方形，然后挖掉中间的一个。
无限次迭代下去，最终形成的图形就是了。
具体的实现如下：
迭代一次迭代两次
迭代三次迭代六次
1、图形每次减少1/4，无限次迭代后，图形的面积为零
2、相似图形个数m=4 边长放大倍数c=2图形分维数d=ln4/ln2=2
3、程序代码如下：
function plotkocht2(k) %显示迭代k次后的Koch曲线图
p=[0,0;10,0];
A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];
r=[];
d=[];
r(1,:)=(p(2,:)-p(1,:))*A';
p=[0,0;r;10,0;0,0]; %存放首次迭代的坐标
figure
hold on %在同一个图形窗口显示
fill(p(:,1),p(:,2),'b');
clear r
q=[];
q=p;
for s=1:k
j=0;
for i=1:3^(s-1)
p=[];
p=[p;q(3*(i-1)+1,:)];
p=[p;q(3*(i-1)+2,:)];
p=[p;q(3*(i-1)+3,:)];
q1=p(1,:);
q2=p(2,:);
q3=p(3,:);
d1=(q2-q1)/2;
d2=(q3-q1)/2;
d3=(q3-q2)/2;
j=j+1;
r(j,:)=q1+d2;
j=j+1;
r(j,:)=q1;
j=j+1;
r(j,:)=q1+d1;
d=[d;r(j,:)];
j=j+1;
r(j,:)=q2+d3;
d=[d;r(j,:)];
j=j+1;
r(j,:)=q1+d1;
j=j+1;
r(j,:)=q2;
j=j+1;
r(j,:)=q3;
j=j+1;
r(j,:)=q1+d2;
d=[d;r(j,:)];
j=j+1;
r(j,:)=q2+d3;
hold on %在同一个图形窗口显示
fill(d(:,1),d(:,2),'r');
d=[];
end
clear q
q=r;
clear r
end
hold off
axis off
axis equal %各坐标轴同比例
set(findobj(gcf,'type','patch'),'edgecolor','none')。