实验五 迭代与分形

q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; j=j+1;r(j,:)=q1+d; %原起点存入 r %新 1 点存入 r
j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; %新 2 点存入 r j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; end %新 3 点存入 r
四、实验过程
本试验以迭代的方式，来体验生成分形图形的基本方法，并感受美丽的分 形图案，从而对分形几何有一个直观的了解。 1. 科赫（Koch）曲线 Koch 曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是： 对一条线段，先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成以此为底边的 等边三角形的另外两条边。无限次迭代下去，最终形成的曲线就是 Koch 曲线。 第一次迭代得图 4-1-1，第二次迭代得图 4-1-2，具体图形如下：
图 4-3-1
图 4-3-2
（1）编辑实现上述迭代的函数 在 Matlab 中，编制一个函数来实现上述迭代。具体代码如下： function frat3(x,y,d,n); % x 为正方形的顶点的横坐标，可取 0 （一个顶点代表一个小正方形） % y 为正方形的顶点的纵坐标，可取 0 % d 为初始正方形边长，可取 1 % n 为迭代次数，可取 4 for p=1:n; %实现迭代过程,计算所有的顶点坐标
d ln m ln c ,
即c d
m
2
对于通常的几何对象，采用这种方式计算出来的维数，与传统的维数是一致 的，比如对正方形，将它边长 k 等份，则相似形个数 m = k ，每边长放大 k 倍后 与原长相同，即 c = k，显然 d = 2。 人类肺的构造，从气管尖端成倍地反复分叉，是一种典型的分形，其分维数 大约是 2.17。 4. 本实验的思路 分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套的层次结构，并且在不同尺度下 保持某种相似的属性，于是，简单的迭代过程，就是描述复杂的自然形态的有效 方法。本实验通过迭代的方式，展示了几种经典分形图形的生成过程。
%原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入 r %全部线段迭代一次后，线段数量乘 4 %清空 p ，注意：最后一个终点 q2 不在 r 中
n=4*n; clear p
p=[r;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点 end plot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图 axis equal %各坐标轴同比例
%原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入 a %全部线段迭代一次后，线段数量乘 4
n=4*n;
clear p
%清空 p ，注意：最后一个终点 q2 不在 a 中
p=[a;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点 end plot(p(:,1),p(:,2)) ;%显示各结点的连线图 fill(p(:,1),p(:,2),'k') %填充颜色 set(findobj(gcf,'type','patch'),'edgecolor','none') %不显示边界 axis off hold off %不要坐标轴
q1=p(i,:);
q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; j=j+1;a(j,:)=q1; j=j+1;a(j,:)=q1+d; %原起点存入 a %新 1 点存入 a
j=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A'; %新 2 点存入 a j=j+1;a(j,:)=q1+2*d; end %新 3 点存入 a
d=1.2619。因此，Koch 曲线的维数介于 1 与 2 之间。具体计算如下:
d ln m ln c ln 4 ln 3 1.2619
2. 城堡 将生成 Koch 曲线的迭代方式稍微改动，做如下迭代：
对一条线段，先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成以此为底边的等 边三角形，只画三角形。无限次迭代下去，最终形成一个分形图。第一次迭代得 图 4-2-1，第二次迭代得图 4-2-2，具体图形如下：
将这个文件保存，文件名 frat1.m。
（2）绘制科赫（Koch）曲线的图形 代码：frat1(3) 运行结果：图 4-1-3，迭代 3 次的图形。 代码：frat1(5) 运行结果：图 4-1-4，迭代 5 次的图形。
图 4-1-3 （3）计算科赫曲线的长度
图 4-1-4
假设初始线段长度为 1； 迭代一次后共有 4 段， 每段长： 增加的长： 1 3， 总长： 以后每次迭代， 总长度增加 1 3 ， 即总长度是原来的 4 3 倍； 1 3， 4 3； 经过 n 次迭代后，总长： (4 3) n 。因此，Koch 曲线的总长度是：无穷大。 （4）计算科赫曲线的维数 根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4，边长放大倍数：c=3，故维数
图 4-1-1
图 4-1-2
（1）编辑实现上述迭代的函数 在 Matlab 中，编制一个函数来绘制 Koch 曲线的图形。具体代码如下： function frat1(k) %显示迭代 k 次后的 Koch 曲线图 p=[0,0;10,0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标 n=1; %存放线段的数量，初始值为 1
将这个文件保存，文件名 frat2.m。
（2）绘制城堡的图形 代码：frat4(3) 运行结果：图 4-2-3，迭代 3 次的图形。 代码：frat4(5) 运行结果：图 4-2-4，迭代 5 次的图形。
图 4-2-3
图 4-2-4
3. 谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯 Sierpinski 地毯也是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是： 对一个正方形，首先将它分成九个小正方形，然后挖去中间的一个。无限 次迭代下去，最终形成的图形就是 Sierpinski 地毯。第一次迭代得图 4-3-1， 第二次迭代得图 4-3-2，具体图形如下：
A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; %用于计算新的结点 for s=1:k j=0; %以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个 %结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到 r 中 for i=1:n %每条边计算一次 %目前线段的起点坐标 %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标
a1=[]; %保存迭代后所有顶点的 x 坐标 b1=[]; %保存迭代后所有顶点的 y 坐标 %根据小正方形的顶点坐标， %计算迭代后形成的 8 个新的小正方形的顶点坐标 for q=1:length(x); %每个小正方形计算一次 x1=x(q)+[0,d/3,2*d/3,0,2*d/3,0,d/3,2*d/3]; %新的 x 坐标 y1=y(q)+[0,0,0,d/3,d/3,2*d/3,2*d/3,2*d/3]; %新的 y 坐标 a1=[a1,x1]; %所有顶点 x 坐标存入 a1 b1=[b1,y1]; %所有顶点 y 坐标存入 b1 end d=d/3; %迭代一次，边长缩小 x=a1; %全部的 x 坐标重新放入 x y=b1; %全部的 y 坐标重新放入 y
实验五
迭代与分形
一、实验目的
了解分形几何的基本理论 了解通过迭代方式，产生分形图的方法 了解 matlab 软件中实现迭代的程序结构 了解分形几何的简单应用
二、背景知识
1. Fill 函数介绍 Fill 的作用是颜色填满一个多边形区域。基本调用格式如下： 函数： fill ( X , Y , C ) 功能：用 X 和 Y 中的数据生成多边形，用 C 指定的颜色填充。 说明：X来自百度文库和 Y 是多边形顶点坐标，C 是颜色。 注意：要保证坐标数据首尾重合，使得多边形封闭。
例 2 针对函数 f ( x) 2sin x ，取初始值 x0 1 ，做迭代，并作图观察 在 matlab 的 M 文件编辑器中，编辑以下代码： function ex31(n,x0) fn=[x0]; for i=2:n fn=[fn, 2*sin(fn(i-1)) ]; end plot(fn) %画曲线 %将第 i 项添加到数组 fn 中 %n-迭代次数, x0-初值
例1
用红色填充一个圆形区域
代码：t=0:0.01*pi:2*pi; x = sin(t); y = cos(t); fill(x,y,'r') 运行结果：图 2-1-1。
图 2-1-1
2. 什么是迭代 迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它 可以产生非常复杂的行为。我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式： （1）图形迭代 给定初始图形 F0，以及一个替换规则 R,将 R 反复作用在初始图形 F0 上,产生 一个图形序列：R（F0）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，… （2）函数迭代 给定初始值 x0，以及一个函数 f(x),将 f(x)反复作用在初始值 x0 上，产生一 个数列：f（x0）＝x1，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，…
将这个文件保存，文件名 ex31.m。调用方式如下： 代码：ex31(20,1) 运行结果：图 2-2-1。 代码：ex31(20,2) 运行结果：图 2-2-2。
图 2-2-1
图 2-2-2
三、问题描述与分析
1. 如何描述复杂的自然形态 几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。传统欧氏几何学的研究对象， 都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。但客观世界中物体的形状， 并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹 凸不平的地球表面近似为椭球面。虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够 得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木 等，传统的几何学就无能为力了。 通常的几何体具有整数维，比如：一维的线段、二维的正方形、三维的立方 体，维数就是几何体在“尺度”上的特征。对于分形中的几何对象，通常意义下 的维数已经没有意义，比如 Koch 曲线（长度是无穷大，面积是零），用一维的 “线段”去量，得数无穷大，“尺子”太小；用二维的“正方形”去量，得数为 零，“尺子”又太大，因此需要定义分形自己的维数(分数维)。 2.分形几何的起源 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot）于 1975 年 首先提出的，但最早的工作可追朔到 1875 年，德国数学家维尔斯特拉斯 （Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔 （Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的康托尔三分集。1890 年，意 大利数学家皮亚诺（Peano）构造了填充空间的曲线。1904 年，瑞典数学家科赫 （Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915 年，波兰数学家谢尔宾 斯基（Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析 与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
end hold on %在同一个图形窗口显示 for q=1:length(x); %用蓝色注满多边形区域 fill(x(q)+[0,d,d,0,0],y(q)+[0,0,d,d,0],'b') % end hold off axis off axis equal % %不要坐标轴 %各坐标轴同比例
图 4-2-1
图 4-2-2
（1）编辑实现上述迭代的函数 本函数主要的思路是，根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增 加的三个结点的坐标。函数代码如下： function frat2(k) %显示等边三角形迭代 k 次后的图形 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点 p=[0 0;10 0]; %存放结点坐标 n=1; for s=1:k j=0; for i=1:n %每条边计算一次 %目前线段的起点坐标 %存放线段的数量，初始值为 1 %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标
0.6 0.4 0.2
-1
-0.5 -0.2 -0.4 -0.6
0.5
1
布朗运动轨迹
Weierestrass 函数
3. 分形几何体的维数 分形的维数目前有多种定义，我们这里介绍相似维数。 设分形 F 是自相似的， 即 F 由 m 个子集构成， 每个子集放大 c 倍后同 F 一样， 则定义 F 的维数为：